高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

点到直线的距离、有关直线的对称问题及线性规划同步教学练习一、一周知识概述本周主要学习点到直线的距离，有关直线的对称问题以及线性规则二、重难点知识讲解1、点到直线的距离（1）点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C=0的距离注意：运用本公式要把直线方程变为一般式（2）两条平行线之间的距离注意：运用此公式时要注意把两平行线方程x、y前面的系数变为相同的.例1、过直线2x＋y＋8=0和直线x＋y＋3=0的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线x－y－5=0和x－y－2=0之间的线段长为，求该直线的方程.解析：   由交点M（－5，2）．  设所求直线l与l1、l2分别交于B、A两点，  由已知|AB|=，又l1、l2间距离，  在Rt△ABC中，．  设l1到l的角为α，则.  设直线l的斜率为k，由夹角公式得  .  所求直线的方程为2x＋y＋8=0或x＋2y＋1=0.例2、设x＋2y=1，求x2＋y2的最小值；若x≥0，y≥0，求x2＋y2的最大值.解析：  欲求x2＋y2的最小值，可利用代入法转化为关于x（或y）的二次三项式，然后利用函数求最值的方法处理，但考虑到x2＋y2的几何意义较明显，即表示P（x，y）到原点的距离，故可从这个角度入手处理本题.  如图所示，在直角坐标系中，x＋2y=1表示直线，记d2=x2＋y2，它表示直线上的点到原点的距离的平方，显然原点到直线x＋2y=1的距离的平方即为所求的最小值，即.       若x≥0，y≥0，问题即为求线段AB上的点与原点距离平方的最大值，显然有.2、直线中有关对称的问题（1）点关于点对称问题通常利用中点坐标公式点P（x，y）关于Q（a，b）的对称点为P'（2a－x，2b－y）（2）直线关于点的对称直线通常用转移法来求或取特殊点设l的方程为：Ax＋By＋C=0（A2＋B2≠0）和点P（x0，y0），求l关于P点的对称直线方程.设P'（x'，y'）是对称直线l'上任意一点，它关于P（x0，y0）的对称点（2x0－x'，2y0－y'）在直线l上，代入得A（2x0－x'）+B（2y0－y'）＋C=0（3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”设P（x0，y0），l：Ax＋By＋C=0（A2＋B2≠0），若P关于l的对称点的坐标Q为（x，y），则l是PQ的垂直平分线，即①PQ⊥l；②PQ的中点在l上，解方程组可得Q点的坐标（4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线对称或利用到角公式例3、求直线3x－y－4=0关于点P（2，－1）对称的直线l的方程解析： 方法一：  设直线l上任一点为（x，y），关于P（2，1）对称点（4－x，－2－y）在直线3x－y－4=0上.   ∴3(4－x)－(－2－y)－4=0  ∴3x－y－10=0  ∴所求直线l的方程3x－y－10=0 方法二：  由直线l与3x－y－4=0平行，故设直线l方程为3x－y＋b=0  由图所示，点P到两直线距离相等，得    解得：b=－10或b=－4（舍）  ∴所求直线l的方程3x－y－10=0例4、已知直线l1：2x＋y－4=0，求l1关于直线l：3x＋4y=1对称的直线l2的方程解析：  由得l1与l的交点为P（3，－2），显见P也在l2上  设l2的斜率为k，又l1的斜率为－2，l的斜率为－，则    故l2的直线方程为，即2x＋11y＋16=0例5、光线通过A（－2，4），经直线2x－y－7=0反射，若反射线通过点B（5，8）.求入射线和反射线所在直线的方程. 解析：  如图所示，已知直线l：2x－y－7=0，  设光线AC经l上点C反射为BC，则∠1=∠2．  再设A关于l的对称点为A'（a，b），则∠1=∠3，  ∴∠2=∠3，则B，C，A'三点共线.      ∵A'A⊥l且AA'中点在l上，  ∴  解得a=10，b=－2，即A'（10，－2）.  ∴A'B的方程为，即2x＋y－18=0.  ∴A'B与l的交点为C（）．  ∴入射线AC的方程为，即2x－11y＋48=0．  ∴入射线方程为2x－11y＋48=0，反射线方程为2x＋y－18=0. 3、简单的线性规划（1）求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是：  ①作图——画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l  ②平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置  ③求值——解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值（2）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．不管是哪种类型，解线性规划的实际问题，关键在于根据条件写出线性的约束条件及线性目标函数，然后作出可行域，在可行域内求出最优解。（3）寻找整点最优解的方法  ①平移找解法：  先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合准确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解。  ②调整优值法：  先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解：如教材例4非整点最优解可知当x，y∈Z时，z≥12，令x＋y=12，y=12－x代入约束条件，可得，3≤x≤，所以x=3或4，这样便找到了最优整点解。例6、画出不等式(x＋2y－1)(x－y＋3)>0表示的平面区域解析：由题意得    例7、预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？解析：  设桌、椅分别买x，y张，把所给的条件表示成不等式组，  即约束条件为    所以，满足约束条件的可行域是以为顶点的三角形区域（图中阴影部分）.       由图形直观可知，目标函数z=x＋y在可行域内的最优解为（25，），但注意到x∈N，y∈N，故取y=37．故有，买桌子25张，椅子37张是满足题设的最好选择。