高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离自学导引1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式,并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.进一步体验解析几何的基本思想,初步掌握用解析法研究几何问题的方法.课前热身1.在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离d=___________________________________.2.若直线l的方程Ax+By+C=0中,B=0,则A≠0,其方程为x=-,此时点P(x0,y0)到该直线的距离d=________________;若直线l的方程Ax+By+C=0中,A=0,则B≠0,其方程为y=-此时点P(x0,y0)到该直线的距离d=__________________.名师讲解1.点到直线的距离公式点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)的距离使用此公式应注意以下几点:(1)若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求距离.(2)若点P在直线上,点P到直线的距离为零,距离公式仍然适用.(3)点到几种特殊直线的距离:①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|;④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.2.两平行线间的距离(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离,也可以应用公式.(2)应用两平行线间的距离公式时,两直线方程必须是一般形式.而且x,y的系数对应相等.(3)当直线与坐标轴垂直时,可利用数形结合法来解决.①两直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2则d=|x2-x1|;②两直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则d=|y2-y1|.典例剖析 题型一距离公式的应用例1:求过点M(-2,1)且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线方程.分析:可利用待定系数法求直线方程,也可用平面几何知识,先判断直线l与直线AB的位置关系.事实上,l∥AB或l过线段AB的中点时,都满足题目的要求.解:当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x+2).即kx-y+2k+1=0.由条件得解得k=0或k=-.故所求的直线方程为y=1或x+2y=0.当直线斜率不存在时,不存在符合题意的直线.规律技巧:与定直线的距离为定值的点的集合是与定直线平行的两条平行直线,因此,由点到直线的距离公式和求轨迹方程的方法即可求得所求的方程.变式训练1:求点P(1,2)到下列直线的距离(1)l1:y=x-3;(2)l2:y=-1;(3)y轴(x=0).解:(1)点P(1,2)到直线x-y-3=0的距离为(2)点P(1,2)到直线y=-1的距离为d=|2-(-1)|=3.(3)点P(1,2)到直线x=0的距离为d=1.题型二平行线之间的距离解:在直线x+3y-4=0上选点P(4,0),那么点P(4,0)到直线2x+6y-9=0的距离d就是两条平行线之间的距离.∴两条平行线之间的距离规律技巧:一般地,已知两条平行线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2).设P(x0,y0)是直线l2上的任意一点,则Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2.于是,点P(x0,y0)到直线l1:Ax+By+C1=0的距离就是两平行直线l1与l2之间的距离.应用公式时要注意l1､l2中x､y的系数必须对应相等. 变式训练2:求下列两条平行线之间的距离.(1)5x-12y+2=0与5x-12y+15=0;(2)6x-4y+5=0与y=x.题型三综合应用分析:(1)可先求出l1与l2的交点,再设出点斜式方程求解.也可以先设出所求直线的直线系方程,利用条件确定参数的值,从而求得直线的方程.(2)解答本题可采用数形结合,分析出点A到直线l的最大值,然后应用点到直线的距离公式求出.解:(1)方法1:由,得交点B(2,1).当直线斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.∴解得:∴l的方程为y-1=(x-2),即4x-3y-5=0.方法2:设经过已知直线交点的直线系方程为:(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.∴即2λ2-5λ+2=0,解得λ=2或λ=.∴l的方程为4x-3y-5=0或x=2.(2)由,解得交点B(2,1). 过点B任意作直线l,设d为A到直线l的距离,则d≤|AB|(仅当l⊥AB时等号成立),∴d的最大值为|AB|=.规律技巧:在(1)的方法1中易忽略直线斜率不存在的情况,即易丢掉解x=2.方法2可避开讨论,直接求得两个解.变式训练3:若已知A(7,8),B(10,4),C(2,-4),求△ABC的面积.易错探究例4:求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程.错解:∵所求直线过点A(1,2),∴可设直线方程y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.∵原点到此直线的距离为1,错因分析:本题出错的根本原因在于思维不严密,当用待定系统法确定直线斜率时,一定要对斜率是否存在的情况进行讨论,否则容易犯解析不全的错误.(2)当直线过点A(1,2)且与x轴不垂直时,由题意可设直线方程y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,又由原点到此直线距离等于1,即3x-4y+5=0.综上所述,所求直线方程为x=1或3x-4y+5=0.技能演练 基础强化1.原点到直线3x-4y-26=0的距离是()答案:B2.若点P(3,a)到直线x+y-4=0的距离为1,则a的值为()答案:D3.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是()解析:在直线3x+2y-3=0上取一点(1,0),则点(1,0)到直线6x+my+1=0的距离,就为所求.由两直线平行得3m-12=0,m=4∴两平行线间的距离为答案:D4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是()解析:由x2+y2的实际意义可知,它代表直线x+y-4=0上的点到原点的距离的平方,它的最小值即为原点到该直线的距离的平方..答案:A 5.到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线方程为()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0D.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0解析:设所求直线方程为3x-4y+k=0,由题意得∴|k+1|=10,∴k=9或k=-11.故所求方程为3x-4y+9=0或3x-4y-11=0.答案:C6.直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点的个数为()A.3B.2C.1D.0解析:设直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点为P(x0,y0)依题意有:|x0|=|y0|,即y0=±x0又7x0+3y0-21=0,显然和都有解,故直线上有两个点适合题意.答案:B7.过点A(2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程为________.解析:当过点A(2,1)的直线与OA垂直时,原点到直线的距离最远,所以斜率k=-2,直线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=08.两平行线3x+4y+5=0与6x+ay+30=0间的距离为d,则a+d=________.解析:由两直线平行知,a=8,∴a+d=10.能力提升9.两条平行线分别过点P(-2,-2),Q(1,3),它们之间的距离为d,如果这两条直线各自绕点P,Q旋转并保持平行,则d的取值范围是________.解析:当这两条直线与直线PQ垂直时,d达到最大值,此时d=|PQ|=.又保持平行,不能重合.∴0