点到直线距离教学案例

《点到直线的距离》教学案例浙江省洞二中（325701）陈展设计理念与思路：让学生掌握知识的同时，重点形成一种提出问题解决问题的能力以及学习数学的兴趣；学会发散性思考问题。总之，能力是主要的，知识是次要的。教材与概念结构分析：解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。学情分析:我们学校的学生思维能力不高,但思维较活跃,有个性,经过长期的训练后,能养成一种比较好的思维习惯与做人的态度。教学目标：知识目标：让学生掌握点线距离公式的推导方法并能利用公式求点线距离。能力目标：培养学生从特殊到一般的分析解决问题能力。提高学生使用现代化工具的动手能力。情感目标：让学生充分感受数学的美；增加对解几的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。重点难点：教学重点：公式的推导与应用。教学难点：知识教学方面：如何启发学生自己构思出距离公式的推导方案。情感教育方面：如何营造课堂积极求解的氛围。以激发学生的创造力。增强学生知难而进的决心。教学资源：多煤体教室。教学流程图：复习——提出问题——寻找解决方案——尝试——解决问题——形成结论——应用结论——提出新问题。教学过程：一、课题引入，提出问题师：直线方程的一般式是怎么样的，其中的系数有什么要求的？生：是Ax+By+C=0(A、B不同时为0）师：两点A（x,y）、B(x,y)间的距离公式是什么？生：|AB|=    y师：当直线AB垂直y轴或x轴时，公式又成什么样子的？生：|AB|=|x-x|或|y-y|师：点Q在直线Ax+By+C=0上,点P在直线外,则什么时候它们最近。Ox 生：当直线PC与直线Ax+By+C=0垂直时。师；这是|PQ|就是点P到直线Ax+By+C=0的距离，它会等于什么呢？这就是现在我们要究研的问题。（板书课题）二、课题解决，形成理念师：如何求点P(3,5)到直线L：y=2的距离？生：可化为两点间的距离。师：是哪两点？生：过点P作垂直L的直线，它交L于Q，则求PQ的距离。师：Q的坐标有什么特点？生：它的横坐标与P的一样，纵坐标是2。且在教师的引导下利用公式|AB|=|x-x||或|y-y|计算。师：变为求点P(3,5)到直线L：x=2的距离？如何求？（学生思考一会儿）教师再引导学生同理来求，并归纳：己知P（x,y），当直线平行x轴时，为d=|y-y|;当直线平行y轴时，为d=|x-x|。师：那么一般情况下，己知P（x,y）与直线L，你们想到用什么方案解决这个问题呢？生：先求过点P且垂直L的直线；再求两直线交点Q的坐标；最后用两点间的距离公式求|PQ|。y师：垂直L的直线的斜率是多少？P它方程用什么形式？生：直线的斜率是，它的方程是Qy-y=(x-x)Ox师：怎么求点Q的坐标？生：由这两条直线方程联立方程组来解。师：这种方法好吗？(生沉思,感叹：难算。)师：所以，我们还要寻找其它的简便的方法。我们用一个特殊点（0，0）来代P（x,y）来思考一下，有没有其它的好方法。生：用面积法求|PQ|。师：若直线交两坐标分别于R、S两点，则有什么关系式存在？ 生：|OR||OS|=|SR||OQ|师：哪些可以求出来？生：点S、P可以算出，再算|OR|、|OS|、|SR|，从而算出|OQ|。师：还有其它方法吗？生：RtD相似法。师：哪两个三角形相似？生：DOSR与DQOP师：其中有什么关系？生：，知道其中三个可以求出|OQ|。师：还有其它方法吗？生：解直角三角形。师：要先求出哪些量？生：|OR|，与。yl师：|OQ|与它们有什么关系？生：|OQ|=|OR|sin师：与直线的倾斜角a什么关系？ORx生：相等。Q师：一定吗？如果直线不是这样放的？生：或有互补关系。S师：所以sin与sina什么关系？生：相等。师：sina怎么算？生：可以由tana=k算。师：具体怎么算，先算什么？生：由seca=得cosa,再由sina=cosatana算出sina就行了。并讨论哪种方法与高中知识联系最紧密，并有代表性。生：利用直角三角形的边角关系来计算。师：下面就考虑一般情况，先求什么？生：求|PM|，师：∠P与倾斜角a有什么的关系？ 生：∠P=a或p－a。Pl师：然后解Rt△PMQ，求|PQ|，如何求？生：|PQ|=|PM|sin∠P,得PQ|=|PM|sina,Qsina可由tana=k=-算出.OMax（师生一起演算）得出归纳：点P（x,y）到直线Ax+By+C=0的距离为d=三、公式应用，简单模仿师：上面的公式有什么范围限制吗?生：无论点和直线的位置如何，点线距离公式都是适用的。师：做以下的练习1.平面内一点A到一条直线L的距离公式的使用范围是（）A对坐标平面内任意点与直线都适用B当直线过原点时不适用C当直线的斜率不存在时不适用D当点A在直线L上时不适用2.点A(-3,2)到直线L:y=-3的距离为______.3.点B(-1,2)到直线L:3x=2的距离为______.4.点B(5,-4)到两坐标轴的距离和为______.5.直线x=-1与直线x=7间的距离是_______.6.若B(3,m)到直线L:y=5的距离大于2，求m的取值范围。（以上的题目可学生口答,教师简要分析。）师：在什么条件下，用什么公式？生：己知P（x,y），当直线平行x轴时，为d=|y-y|;当直线平行y轴时，为d=|x-x|。师：第5题中可取怎样的两点？生：与x轴的两个交点。四、活用公式，理解本质7.求点P(-1,2)到直线L:x/5+y/10=1的距离。8.已知点(a,6)到直线4x-3y-3=0的距离为28/5，求a的值。9.已知点A(1,0)到直线x/m+y=1的距离为1/2，求m的值。学生上来板书，教师再叫其它同学来评价。师：用到什么公式？ 生：d=注：一般式；A、B化整求其它末知量。针对每个题目教师叫学生说清哪个是A哪个是B。五、数形结合，提高能力10.x轴上任意一点(a,0)到一三象限角平分线的距离是_________.师：一三象限角平分线上点的坐标有什么特点？它的方程为什么？生：它的点的横纵坐标相等，方程是y=x。11.求过原点且与点(-2,5)的距离为2的直线方程。师；这样的直线有几条？生；两条。师：它们都有斜率吗?当它斜率不存在时行吗?生(思考)：行。师：斜率存在时，怎么求呢？生：设为点斜式，利用距离来求它，再写出方程。注：有几个题来不及做，让学生带回家思考。六、小结内容，形成体系：师：我们学了几种推导点线距离的方法?生：二种求点线距离的方法。师：哪几种求点线距离的方式?生：①|坐标差|②解RtD③距离公式.师：思考新的问题——两直线间的距离公式为什么？怎么求？七、作业：1.课本第45页第12、13题。2.补充题：已知DABC的顶点A(4,0)、B(6,7)、C(0,3)，求这个三角形的面积。学习评价方法：提问法、问卷法、测试法、个别学生谈心法，用这些方法了解学生掌握知识，形成能力的情况。教学反思:这堂课，既是一堂新课，也是一堂习题课，一堂实验课；既学习了新知识，也锻炼了用从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法分析解决问题的能力，提高了学生使用现代化工具的动手能力；也让学生感受到数学变化的美；也在学生个性情感中融入了创新的意识与胆量。因为我第一次上这个班，对学生的情况还不是很了解，导至上课时存在一定的问题，比如教师在引导时，有时讲得太快，使个别同学还不能很快领会；课的容量太大，虽然用了多煤体，但还是让练习的时间太少；设问太深，使成绩中下的同学不容易回答。以下从五个方面进行进一步的反思：一、 在知识目标的落实上，我的课前设计是先讨论简单情况再讨论复杂情况，然后引导学生从中纳归出一个公式。在这个过程中要引导学生讨论各种可能的情况。由于备课不充分，以至于在讨论原点到直线的距离时，认为就是直线的倾斜角，只说了一种情况，后来在讨论一般情况时得到了补充。上面的书写过程是有经过稍微改动的。二、在能力目标的落实上，我想通过多煤体的演示引导学生发现问题，解决问题，比如，点P到点O是设计了一个动画形式，这样做是想让学生通过类比，把这种方法迁移过来。在公式得出的过程中，引导学生用分类讨论以及数形结合的思想思考问题，引导学生思考要全面。在上课的过程中，发现学生并不是教师想的这么聪明，因此有个别地方学生无法思考，这就要我们在设问上再下点功夫。三、在情感目标的落实上，我主要是通过多煤体让学生感到数学的美，激发他们的学习兴趣，通过鼓励，让他们有信心去解决难题；通过不断的提问，培养他们思考的坚持性。而事实上，对学生的鼓励还不够，以至于使数学成绩较差的学生得不到回答问题的机会。所以以后，我在设问时要做到问题有梯度，让各种学生都能想一点，说一点，做一点。五、在知识点的联系上，我安排了一些承上启下的问题，使学生能利用所用的知识得出新的结论。但在设问上还不够细化，过度不太自然，思维跨度较大，不利于中等以下学生思维的培养，这点在以后的教学中要注意。六、在教学方法的展示上，我利用了动态模拟教学法与提问法等，使学生在计算机的动态的模拟下认识问题的本质以及培养学生数学的审美观，并在教师的问题引导下养成一种思考问题的思维习惯，为以后学习打下良好的基础。总之，这是一堂从全方位进行探索的课，内容多，难度大，操作性强，所以上好上坏只是一步之差，还好这些学生在他们前任老师的培养下己经初步具有了探索能力，所以这堂课总体还算成功，特作以案例，有什么不当，请大家批评指正。