《点到直线距离》课件（经典版）

3.3.3点到直线的距离 两点间距离公式xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)O 问题：点到直线的距离是怎样定义的?·点到直线的距离的定义：过点作直线的垂线，垂足为点，线段的长度叫做点到直线的距离．· lP.oxy:Ax+By+C=0(x0,y0)点到直线的距离Q POyxlQP（x0，y0）l:Ax+By+C=0问题：求点P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离？ xyP0(x0,y0)O|y0||x0|x0y0【特殊情形1】点到坐标轴的距离0 点到直线距离【特殊情形2】xyP0(x0,y0)O|x1-x0||y1-y0|x0y0y1x10 oxyPQ·l··推导思路1:①求垂线方程②求交点坐标③求两点间的距离求点P0（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。其中A≠0且B≠0此方法思路自然，但运算较为繁琐．【一般情形】0 若直线不平行于坐标轴(即A≠0且B≠0),由可得它的斜率是直线ＰＱ的方程是即与联立，解得 思路二：间接法xyO面积法求出求出求出利用勾股定理求出点到直线的距离SR求出点的坐标R求出点的坐标S 思路二：P(x0,y0),l:Ax+By+C=0,设AB≠0,OyxldQPRS OyxldQPRS由三角形面积公式可得：A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0时一般不用此公式计算距离．注：在使用该公式前，须将直线方程化为一般式． xyoP0(x0,y0)Q.xyoP0(x0,y0)Q. 例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0；②3x=2;③2y+3=0的距离。解：①根据点到直线的距离公式，得②如图，直线3x=2平行于y轴，Oyxl:3x=2P(-1,2)用公式验证，结果怎样？ 解：③如图，直线2y+3=0平行于x轴，用公式验证，结果怎样？yOxl:2y+3=0P(-1,2) 练习1.求下列点到直线的距离：点到直线的距离为0表示什么？ 练习2:求下列点到直线的距离:(1)O(0,0),3x+2y-26=0；(2)A(-2,3),3x+4y+3=0;(3)B(1,0),(4)C(1,-2),4x+3y=0.答案: 例2已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积．xyo123123-1ABCh 练习2.直线l经过原点，且点M(5,0)到直线l的距离等于3，求l的方程1.动点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值为（）2.1.C答案：A.B.2D.4C. 解：设P(x,0),根据P到l1、l2距离相等，列式为=解得：所以P点坐标为：P在x轴上,P到直线l1:x-y+7=0与直线l2:12x-5y+40=0的距离相等,求P点坐标。3.典型例题 4.在抛物线y=4x2上求一点P,使P到直线l:y=4x-5的距离最短,并求出这个最短距离.典型例题解:依题意设P(x,4x2),则P到直线l:4x-y-5=0的距离为 5直线l经过点P（－2，1）,且A（-1，3）到l的距离等于1,求直线l的方程．解：①若l的斜率不存在，则l的方程为：x=-2,显然符合要求。②若l的斜率存在，设为k，则l的方程为：y-1=k(x+2),即：kx-y+2k+1=0由A到l的距离为1得：所以k=综上所述，所求直线方程为：x=-2，或3x-4y+10=0 6.练习△ABC中，A(3，3)，B(2，-2)，C(-7，1)，求∠A的平分线AD所在直线的方程。解：由已知可求的AC边所在的直线方程为x-5y+12=0AB边所在的直线方程为5x-y-12=0，设M(x,y)为∠A的平分线AD上任意一点。由角平分线的定义得：整理得：y=-x+6或y=x结合图形可知：故∠A的平分线AD所在直线的方程是y=x。 小结：1.点到直线距离公式：注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；2.当A=0或B=0(直线与坐标轴垂直)时，仍然可用公式，这说明了特殊与一般的关系. 3.3.4《两平行线间的距离》 例3：求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。Oyxl2:2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0P(3,0)两平行线间的距离处处相等在l2上任取一点，例如P(3,0)P到l1的距离等于l1与l2的距离❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离 任意两条平行直线都可以写成如下形式：l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0Oyxl2l1PQ思考：任意两条平行线的距离是多少呢？注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为对应相同的形式。（两平行线间的距离公式） 例3已知直线l1：2x-7y-8=0，l2：6x-21y-1=0，求直线l1与l2间的距离。解：设l1与x轴的交点为A，A点的坐标为:(4，0)。根据点到直线的距离公式：点A到l2的距离为xyol1l2A(4,0). 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程.解：由题意设所求直线的方程为则直线l与的距离，化简得|6-m|=26，即6-m=26，6-m=-26，解得m=-20，m=32则所求直线的方程为5x-12y-20=0或5x-12y+32=0故答案为：5x-12y-20=0或5x-12y+32=0 例4、过点（1，2），且与点A（2，3）和B（4，-5）距离相等的直线L的方程。 （1）点到直线距离公式：，（2）两平行直线间的距离：，小结：注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理为对应相等的形式。