《点到直线的距离》教学设计方案尹战平一、教材分析1、地位与作用：本节是“两条直线的位置关系”的最后一个内容，它是在研究了两条直线的位置关系的判定方法之基础上，研究两条平行线间距离的一个重要公式。推导此公式不仅完善了两条直线的位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础。而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质，提高学生的数学核心素养。2、重点、难点及关键：本节学习的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，熟练地应用公式求点到直线的距离；难点是点到直线的距离公式的推导及对知识、思想方法的反思升华。本节学习的关键是“怎样想到利用坐标系中的x轴或y轴构造RtΔ，从而推出公式”。对于这个问题，教材中的处理方法是：直接作辅助线（ 见教材）。这样做，无法展现为什么会想到要构造RtΔ这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生进行灌注式教学。事实上，为了真正实现以学生为主体的教学，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容组织形式。因此，我没有像教材中的那样直接作辅助线，而是对教学内容进行剪裁、重组和铺垫，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的RtΔ，从而解出|PQ|。在此基础上进一步将特殊问题还原到一般，学生便十分自然地想在坐标系中探寻含PQ的RtΔ，找不到，自然想构造，此时再过P点作x轴或y轴的平行线就显得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。本设计力求以启迪思维为核心，设计出能启发学生思维的“最近发展区”，从而突破关键，导出公式。二、教学对象分析通过前面几节课的学习，学生已较好地掌握了直线的方程的几种求法和两条直线的平行、垂直等各种关系的实际运用，对一些综合性较强的问题也有了初步的掌握，能独立解决一些关于直线的基础题目。但由于部分的学生基础比较差，学习主动性不强，所以在发挥学习主体地位、独立思考和自我对学习过程的反思、提炼、升华方面还有待提高。三、设计理念1、采用投影、计算机等教学手段，增大教学的容量和直观性，一方面从形上验证计算结果，另一方面加深学生的直觉思维，有利于学生对知识的理解和记忆，也培养了学生的学习兴趣。2、遵循“数学学习的本质是主体（学生）在头脑中建构和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体，教师为主导的”启发式教学。在整个教学过程中，教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，学生是学习的主体，教学过程是师生交流、共同发展的互动过程。3、教是为了不教，让学生学会思考的方法，是数学课堂教学的重要任务之一。本节课力求营造民主的教学氛围，给学生以思考空间，使学生学会对过程反思、提炼、升华。4、以反馈调控为手段，力求反馈的全面性（优、中、差生）与时效性（及时、中肯）。在教学中随时注意学生的全面反馈，评价学生学习进度，由此及时调整教学速度和教学内容的安排。
四、教学目标1、认知目标：（1）学完本课后，使学生能够理解和掌握点到直线的距离公式、两条平行线间距离公式及其结构特点，并能熟练运用这些公式解决一些简单问题。（2）通过知识的教学，让学生学会对知识的反思，不断升华知识中所体现的思想方法，领会渗透于公式推导中的数学思想（如化归思想、数形结合、分类讨论等），掌握用化归思想来研究数学问题的方法。在公式的探求过程中，使学生进一步领会由特殊到一般、由简单到复杂、由已知求未知的方法对分析问题、解决问题的指导意义。2、能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的自学能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。3、情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。五、教学过程教学过程教学内容（载体）教师活动（导）学生活动（学）设计意图〖引言〗从一个生活中的实际例子（供电线的接法）开始，引出对点到直线的距离的研究。教师由引例导入，切入课题。由学生独立尝试从生活实例中抽象出数学问题，并用数学语言表达出来。让学生充分体会数学理论在实际生活中的运用，训练学生由生活中抽象出数学问题的能力。〖复习提问〗1、你认为什么是点到直线的距离？（点到线的垂线段长）2、我们学过哪些求距离的方法？分别是什么？（①两点间距离公式②解Rt△）提出问题，引导学生回忆点到直线距离定义，并归纳已学的求距离的方法。由学生给出定义和总结。1、帮助大部分学生巩固、理解和归纳基础知识，给后面的课程铺垫。2、促使学生学会对知识的归纳梳理。〖新课〗一、公式的推导问题一：求点P（－1，2）到直线2x+y－10=0的距离。1、提出问题,引导学生探求多种解法。2、组织学生在独立思考、小组讨论的基础上上台演讲自己的思路，并适时予以肯定和升华，激励学生。3、用课件演示思路图，帮助学生梳理思路。学生先独立思考，然后分小组讨论，得出结论后每组选出代表上台演讲自己的思路方法。1、培养学生独立思考能力和语言表达能力。2、培养学生一题多解的能力，优化学生的思维。3、培养学生的参与意识、创新精神，激发学生的兴趣。
问题二：求点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A≠0、B≠0）的距离。1、在学生对问题一解决的基础上，对问题进行推广。2、引导学生总结升华探求点到直线的距离的思路和方法。3、演示课件继续推广问题。1、由一名学生板演，其他学生在下面独立解决问题。2、学生反思解题过程后总结收获，得到点到直线的距离公式。1、对问题进行推广，检查学生对问题一实质的理解和掌握。2、使学生体会解决问题的方法：从特殊到一般。3、提高学生的归纳概括提炼升华的能力。二、公式的结构特点总结前面推导出的点到直线的距离公式的结构特点、适用范围和使用时的注意事项（直线方程化为一般式）。引导学生发现所求公式的结构特点、适用范围和使用时需要注意的地方，指导学生将所发现的知识点进行归纳总结，形成结论。1、对推导出的公式进行初步记忆，同时尽力去发现公式的结构特点；2、在老师的指导下将所发现的知识点进行归纳总结，形成结论。1、在学习运用前加深学生对公式的记忆，为后面的学习打基础。2、培养学生的发现能力，进一步加强学生的逻辑思维的严密性。3、使学生逐步学会对知识的系统归纳和总结。三、公式的应用（一）1、求点P（－2，4）到下列直线的距离。(1)x－2y+5=0(2)3x=2(3)y－5=0(4)y=2x+42、若点P（m，4）到直线x－2y+5=0的距离为，求m的值。3、若点P（m，4）到直线x－2y+5=0的距离大于，求m的取值范围。1、给出题组，组织学生独立解决问题。2、引导学生对问题解决后的反思和升华。3、演示课件，从动态的观点验证问题。1、学生独立解决题组练习。2、学生在解决问题的基础上对问题进行反思，总结公式的使用条件。1、使学生进一步理解和巩固公式记忆。2、培养学生观察、发现问题异同的能力。总结升华收获解决问题的方法。3、演示课件增强学生的直观思维。四、变式练习4、（1）求过点（－1，2），且与原点距离为的直线方程。（2）求过点（1，3）且与点（2，1）的距离为1的直线方程。进一步变化题目提出问题，引导学生解决问题后，总结解决问题的方法（数形结合、方程、待定系数法等）。学生思考解决问题的方法，并总结收获。1、把本节课所学的内容与之前所学过的知识结合在一起，培养学生对知识的综合运用能力。2、加大学生思维的力度，培养学生一题多变的能力。3、演示课件，从动态的观点验证问题，增强问题的直观性。五、公式的应用（二）问题一：求两平行线2x－7y+8=0与2x－7y－6=0之间的距离。组织学生小组讨论，解决问题后，由一名学生上台演讲思路。学生小组讨论，寻求问题的最佳解法，并反思解决问题的思想方法。1、培养学生解决问题的能力和表达交流能力，使学生的思维在碰撞中得到发展。2、帮助学生学会学习，学会总结升华扩大战果。
问题二：d=A2+B2|C1－C2|求两平行线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0之间的距离公式：1、在学生对问题一解决的基础上，对问题进行推广。2、引导学生总结升华探求两平行线间距离的思路和方法。3、演示课件推广问题。1、由学生在下面独立解决问题，推导公式。2、学生反思解题过程后总结收获，得到两平行线间距离公式。1、对问题一进行推广，检查学生对所学公式的实质的理解和掌握。2、使学生进一步体会解决问题的方法：从特殊到一般。3、提高学生的归纳概括提炼升华的能力。练习反馈题：1、求下列两平行直线间的距离：(1)2x+3y－8=0，2x+3y+18=0(2)3x+4y=10，3x+4y=02、已知平行线2x+3y－3=0与2x+3y－9=0，求与它们等距离的平行线方程。1、给出问题组，组织学生独立运用公式解决问题。2、进一步变化题目提出问题，引导学生对问题解决后的反思和升华，总结解决问题的方法（数形结合、方程、待定系数法等）。1、学生独立解决练习题。2、学生在解决问题的基础上对问题进行反思，总结公式的使用条件。3、学生思考解决问题的方法，并总结收获。1、使学生进一步理解和巩固公式的记忆。2、培养学生观察、发现问题异同的能力。3、使学生总结升华，收获解决问题的思想和方法。〖课后小结〗1、各知识点：点到直线的距离公式、两平行线间距离公式及各自的适用范围；2、思路方法：由特殊到一般、数形结合、待定系数法等；3、注意事项：使用点到直线的距离公式前，直线的方程必须化为一般式；使用两平行线间的距离公式前，两直线方程的首项系数必须相同。组织学生进行小结，部分学生发言，教师补充，指导学生形成知识系统。由学生进行小结，部分学生发言，归纳总结本节课的学习内容及思想方法，形成知识系统。让学生学会对知识的反思，升华知识中所体现的思想方法（数形结合、待定系数法、分类等），培养学生的主体参与意识、动手能力、表达能力。〖知识的深化与拓广〗1、求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程。2、求点P（0，1）关于直线2x+11y+16=0对称的点的坐标。引导学生思考题组，适当加以提示，指导学生进一步形成知识系统。学生在老师的提示和指导下独立思考，寻求解决问题的方法和规律。拓宽学生知识面，深化知识结构，若课堂教学时间不允许，可作为课外思考题。六、教学后记针对本班学生学习主动性不强的弱点，本节课在课堂的安排上采取层层推进、由易到难的策略，启发、指导、探索，围绕点到直线的距离公式，一题多解，一题多变，设立“陷阱”，使学生在思维的碰撞中去丰富自己的认识，理解公式。发挥个别学生的带动作用，在教学过程中培养学生思维的灵活性，在教学过程中渗透数学思想方法，提高学生的数学核心素养。在教学方法上，本节课采取放手学生独立思考，上台板演、演讲、合作讨论交流等途径和方法，给学生留出空间，让学生充分的想，充分的说，把课堂变成学生亲自思维和实践活动的主战场。在此过程中，让学生亲身体会成功的喜悦，教师及时予以肯定和赞许，进一步增强学生参与的信心。本节课营造了民主的教学氛围，使学生或显性（答问、板演等）或隐性（聆听，苦思等）地参与全教学过程，给学生以思考空间，令学生自己导出公式。
如在推导完点到直线距离公式后，启发学生提炼出分析解决问题的一般思路：由特殊到一般；在完成例题后，引导学生总结数形结合的思想、待定系数法的应用等，使学生体会思想对解题的指导意义。
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