333点到直线的距离教材分析“点到直线的距离''是新课标《数学必修2》第三章第3节“直线的交点与距离公式”中的重要知识点.教材按照“提出问题（如何求点到直线的距离）、解决问题（推导公式）、应用公式”的线索展开研究，既定直线方程应用的延续，又是坐标法这一核心知识的发展，同时还是充分展现用代数方法研究几何问题优越性的载体.作为肓线方程的一个应用，公式的推导过程蕴涵了丰富的数学思想方法，转化思想，数形结合，分类讨论，属于具有较高思维价值和探究价值的教学内容.通过公式推导的获得，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及白主探究和合作学习的能力.同时，该公式还将在学生今后的代数、立体几何及圆锥曲线学习过程屮，作为解析几何的一个重要工具广泛用之于问题的求解过程当中，因此，该内容又具有很大的皿用价值•不仅如此，该内容还是刚刚学过的两真线交点及两点间距离公式的用武Z地.就内容木身来说，作为公式的学习与应用又是引领学生运用平面儿何知识、强化直线方稈的建立过稈的好索材.因此，这是一节具有承上启下、继往开来作用的一个重要基础内容，是今后进一步学习研究解析儿何的重要工具.课时分配木节内容用1课时的时间完成，主要讲解点到岚线的距离公式的推导及运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：点到直线的距离公式的建立，有关数学思想方法及应用.难点：点到育线的距离公式的探究及选择恰当的解决问题的方法.知识点：点到直线的距离公式.能力点：如何探寻点到直线的距离公式的推导思路，体验用数形结合、转化、函数等数学思想来解决数学问题的方法，形成用代数方法解决儿何问题的能力.教有点：让学生在问题的探究与解决屮体验数学的魅力，感受解决问题的愉悦，有效培养勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力资源，培养其良好的数学学习品质，激发学生学习数学的热情.自主探究点：如何运用运用真线方程的有关知识推导点到肓线的距离公式.考试点：用公式解决简单的数学问题.易错易混点：正用或逆用公式时，学生一般在计算上容易出错.拓展点：如何利用点到肓线的距离公式推导两平行线间的距离公式.教具准备实物投影仪和三角板课堂模式学案导学一、引入新课如图,在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与Z连接起来•那么怎样设计能使公路最短？短路程又是多少？■【师生活动】教师引导学生将实际问题抽彖出数学问题:
【设计意图】从一个具体的实际问题入手，引导学生将其转化为解析几何问题,节课题，同时激发学生学习兴趣，培养学生简单的数学建模能力.教师引导：如何在知道点P坐标和有•线方稈的情况下求得P到该岚线的距离?情形（1）点到坐标轴的距离.情形（2）点到与坐标轴平行的直线Z间的距离.情形（3）原点O到直线/:Ax+Bj/+C=O的距离|00|?（如右图）师生共同分析（3）的求解思路:方案一：建立坐标系，由此引出木设点P到直线/的垂线段为P0,垂足为0,由P0丄/可知，直线P0的斜率为色（昇工0）,根据点斜A式写出直线PQ的方程,并由/与P0的方程求出点Q的坐标;由此根据两点距离公式求出丨P0I,得到点P到直线/的距离为d.方案二：利用“等面积法”就可以求出|00|=\OM\-\ONMN在很容易求出|OM|,|ON|,则可以求出MN=^OM2-^ON2,而|。0|是其斜边上的方案三：在RT\OMN屮，很容易求出\OM\.\ON\,则可以求出\MN\=^OM2+ON1,发现,,OM•ONRTAOWsRTMJQN,禾I」用三角形相似也可以求解00=―——.MN【设计意图】从简单问题入手，让学生能沿看教师设置的高而可攀的梯了拾级而上，在由特殊到一般、由抽象到具体的思维活动过稈屮提出问题，并逐步解决问题.方案二和三是为了说明构造三角形的必要性.【设计说明】在分析（1）（2）（3）的求解思路以后，引出一般问题，步步为营！上血问题的问题都很特殊，你能由此提出一•个更据一般性和挑战性的问题吗？从而冋到上面的…般问题.二、探究新知（-）归纳公式师生活动：画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。方案一：D设点P到直线/的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ丄/可知，宜线PQ的斜率为一（AHO）,根据点斜式A写出直线PQ的方稈，并由/与PQ的方稈求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出丨PQI,得到点P到直线/的距离为〃.教师总结常规思路：BP：|PQ|uQ点坐标U育线PQ与肓线L的交点U肓线PQ的方程U肓线PQ的斜率u育线2的斜率，采用了化归的思想，此方法虽思路白然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法。【设计意图】方案一是推导公式的基木办法，但是合理不合情，计算太复杂，让学生实践体会，也为今后圆
锥曲线的学习做准备，即如何优化解题.同时较多的同学衣有限的时间里并不能得到准确的答案，使学生经历了挫折教育.学生会发现这种解法的缺陷，于是愿意探求其他更优的解法.教师活动：继续引导学生探求其他解法，逐步提问，层层深入：⑴不求点Q的坐标行吗？(2)线段PQ的长度如何求?(引导学生想到构造三角形)(3)如何构造?(学生讨论)从而得出：方案二：设A丸,B#0,这时/与X轴、尹轴都相交,过点P作兀轴的平行线,交/于点^(“，几)；作丁轴的平行线,交/于点SGo，%)，,\^-\x\++C=0侣—By。—C—Ax0—C\AxQ^By2+C=01AB所以，\PR\=\xQ一兀］Ax()+By()+CA\PS\=\yQ-y2Ax()+By()+C_BIRSI=QPRUPS?=WJ|加o+Bpo+C|由三角形面积公式可知：d・I7?S|=AB\PR\-\PS\.所以』；+收+q【设计意图】采用开放式教学，充分发挥学生的主观能动性，拓宽思维.通过师生互动，从方案一的“白然接受”-方案二的“巧妙构造"，使学生看到希望，让学生认识到学习数学是可以提高能力的.在实际教学屮,可能会遇到其他解法，应鼓励学生积极发表自己的意见，锻炼学生的胆量与表达能力，亦可留做课后思考,具体处理视课堂情况灵活处理.三、理解新知问题：公式有哪些结构特征？公式在/二0或者5=0时还成立吗？公式的分了：保留宜线方程一般式的风格，充分表明公式与宜线方程有关.公式的分母：有点距离公式的味道.象其他我们学过的一些公式一样，公式简洁明了，给我们一种端庄秀丽的美感，并且公式在A=0或者3=0时仍然成立.【设计意图】让学生快速记住公式，同时让学生感受数学美.四、运用新知例1求点P(-1,2)到直线3兀=2之间的距离.解：原式可化为3x-2=0,所以〃=|3x(-1)-2|a/32+02［提问萸•他方法］学生作答:25解：因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|y-(-l)|=-.点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；⑵体现了求点到肓线距离的灵活性,并没有局限于公式.【设计意图】强化学生对公式的记忆和应用.同时，“代入公式计算前，首先应将肓线方程化为一般式,以便确定系数A、B的值,，是学生在应用公式屮，容易忽略的环节.特殊情况并没有局限于公式.变式一点A(a,6)到直线3x-4y=2的距离等于4,求a的值.I/—4x6-2I46
解:由〔、一j—=4得，|3a・6|=20,所以a=20或a=—-.V32+423
【设计意图】熟悉公式的逆用.变式二求点P(1,1)到直线X-2y+l=oz间的距离.【设计意图】通过此题让学生既能体会到公式适用的更广范围，又让学生发现一种判定点是否在育线上的新方法，同时也为判断三点共线问题拓展思路.例2已知点A(l,3),B(3,1),C(-l,0),求AABC的面积.解:设AB边上的高为h,贝ijSAABC=-|AB|-h.|AB|=J(3_1)2+(1_3)2=2V2,AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在的直线方程为上二|=㈡，即x+y-4=0.1—33—1点C到x+y-4=0的距离为h=|一1+0-4|7i2+i2因此,_1Saabc=—2x2a/2X【设计意图】通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的跖离理解应川，能逐步体会川代数运算解决几何问题的优越性.思考求三角形的面积还有其它方法吗？(割补法，学生课下完成).变式三求过点A(・l,2),且与原点的距离等于1的直线方稈.【设计意图】通过对学生在设頁线方程的过程屮产生的漏解问题，鼓励学生寻找思维上的漏洞，使学生在“错误体验''屮加深记忆，突岀几何直观和数形结合的思想方法，培养学生自我发现自我补充的学习能力,增强思维的批判性.说明：若教学进稈比较顺利，时间来得及，可以提出以下思考题，把两条平行线间的距离公式也处理掉.例3求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在肓线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3,0),则点P(3,0倒肓线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,^12x3-7x0+81=J£=14V53'強2+(_7)2V5353师生活动：你能尝试推岀一般式下的两平行线间的距离公式吗？(小组讨论得出)【设计意图】活用公式，学生体会转化思想,以要转化成点到肓间的距离即可；这样下节课就可以进入木章小结部分的教学.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1.知识：点到肓线间的距离公式.2.思想：转化思想、数形结合的思想、特殊到一般的思想.教师总结：通过本节学习，要求大家：1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.3.木节课重点讨论了平面内点到育线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.【设计意图】通过小结，使学生木节所学的知识系统化、条理化，进一步巩固知识，明确方法.加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”.六、布置作业1.阅读教材P106—109；2•书面作业
必做题：P110习题3.3A组9;B组2,4.选做题：1.求过点(1,2)，且与点A(2,3)和B(4,・5)距离相等的肓线/的方程.1.正方形屮心在C(・l,0),一条边所在真线方程是3x-y=0,求其它三边所在的肓线方程.2.课外思考如何利用推导两平行线间的距离？【设计意图】设计作业1,2,是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用点到直线的距离公式，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解公式Z间的联系.七、教后反思1.木教案的亮点是在思维层次上注意了铺垫与暗示，给学生铺设思维的台阶；在数学思想方法上特别注重特殊化到一般化，一般化到特殊化的转化思想的运用.本堂课充分体现了学生的主体作用，让学生积极参与到课堂教学屮来，使学生积极思维，勇于发现，使课堂的气氛活跃起来，这样，获得了较满意的教学效果.2.由于课堂时问有限，学生讨论给出的方法在课堂上不能一一实现，在寻找方法过稈中，可以要求学生只谈想法，不必算出结果，但要讲清方法的来龙去脉以及解题计划，是如何想到这个方法的？用这个方法可以算到结果吗？在应用所给方法过程中可能会遇到什么问题•具体解题过稈，可以根据这些解题设想由学上课后完成.3.新课程的目标很高,40分钟的课堂教学时间，很难放开手脚让学生去进行探究，同时，由于把课堂的时间大部分给了学生，教师如何利用好有限的时问进行教学就成为难题.对学生的讨论与交流的过稈怎样控制成为教学关注的一个焦点•教学时，不但要控制讨论题H的数量和难度，还要实时控制讨论的深度和广度,更要控制好讨论的时间.一旦控制不到位或疏于控制擞学内容将难以完成.八、板书设计3.3.3点到直线的距离1.提出问题2.特殊情况向一般情况的过渡3.—般情况下公式推导例1例2例3
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