333点到直线的距离教材分析“点到肓线的距离”是新课标《数学必修2》第三章第3节“肓线的交点与距离公式叫」的重要知识点.教材按照“提出问题（如何求点到直线的距离）、解决问题（推导公式）、应川公式”的线索展开研究，既是直线方程应用的延续，又是坐标法这一核心知识的发展，同时述是充分展现用代数方法研究几何问题优越性的载体•作为直线方程的一个应用，公式的推导过程蕴涵了丰富的数学思想方法，转化思想，数形结合，分类讨论，属于具有较高思维价值和探究价值的教学内容.通过公式推导的获得，可以培养学牛分析问题、解决问题的能力，以及白主探究和合作学习的能力.同时，该公式还将在学生今后的代数、立体几何及圆锥曲线学习过程中，作为解析几何的一个重要工具广泛用Z于问题的求解过程当中，因此，该内容又具冇很大的应用价值•不仅如此，该内容述是刚刚学过的两直线交点及两点间距离公式的用武Z地•就內容本身来说，作为公式的学习与应用乂是引领学生运用平而儿何知识、强化直线方程的建立过程的好素材.因此，这是一节具有承上启卞、继往开來作用的一个重要基础内容，是今后进一步学习研究解析儿何的重要工具.课时分配木节内容用1课时的时间完成，主要讲解点到直线的距离公式的推导及运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：点到肓线的距离公式的建立，有关数学思想方法及应用.难点：点到直线的距离公式的探究及选择恰当的解决问题的方法.知识点：点到直线的距离公式.能力点：如何探寻点到总线的距离公式的推导思路，体验用数形结合、转化、函数等数学思想來解决数学问题的方法，形成用代数方法解决儿何问题的能力.教育点：让学生在问题的探究与解决中体验数学的魅力，感受解决问题的愉悦，有效培养勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力资源，培养其良好的数学学习品质，激发学生学习数学的热情.自主探究点：如何运用运用直线方程的有关知识推导点到肓线的距离公式.考试点：用公式解决简单的数学问题.易错易混点：止用或逆用公式时，学生一般在计算上容易出错.拓展点：如何利用点到直线的距离公式推导两平行线间的距离公式.教具准备实物投影仪和三角板课堂模式学案导学一、引入新课如图,在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与Z连接起來.那么怎样设计能使公路最短？最短路程乂是多少？“【师生活动】教师引导学牛:将实际问题抽象出数学问题:
【设计意图】从一个具体的实际问题入手，引导学生将其转化为解析几何问题,节课题，同吋激发学牛学习兴趣，培养学牛简单的数学建模能力.教师引导：如何在知道点P坐标和直线方程的情况下求得P到该直线的距离?情形（1）点到坐标轴的距离.情形（2）点到与处标轴平行的直线之间的距离.情形（3）原点0到直线l:Ax-^-By+C=0的距离\OQ\?（如右图）师牛共同分析（3）的求解思路：方案一：建立坐标系，由此引出本R设点P到直线/的垂线段为PQ,垂足为0由P0丄厂町知，直线PQ的斜率为三（力丸），根据点斜A式写出直线P0的方程，并山/与P0的方程求出点0的坐标；山此根据两点距离公式求出丨PQI,得到点P到直线/的距离为d・方案二高，利丿I广等面积法"就可以求出|。0|\om\-\onMN在RtAOW中，很容易求出则可以求出MN=JOM?+0矿，而|00|是其斜边上的方案三：发现在RT\OMN中，很容易求出|OM|,|ON|,则可以求出=^OM2+ON2MNRTAOWsrvHOQN,利用三角形相似也可以求解|OQ|=【设计意图】从简单问题入手，让学生能沿着教师设置的高而可攀的梯子拾级而上，在由特殊到一般、由抽象到具体的思维活动过程屮提出问题，并逐步解决问题•方案二和三是为了说明构造三角形的必要性.【设计说明】在分析（1）（2）（3）的求解思路以后，引出一-般问题，步步为营！问题上面问题的问题都很特殊，你能由此提出一个更据一般性和挑战性的问题吗？从而回到上面的-•般问题.二、探究新知（-）归纳公式师生活动：画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。方案一：设点P到宜线/的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ丄/可知，直线PQ的斜率为色（A#））,根据点斜式A写出直线PQ的方程，并由/-UPQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求!llIPQI,得到点P到直线/的距离为d.教师总结常规思路：B|J：|PQ|UQ点坐标U肯线PQ与肓线L的交点U胃线PQ的方程U宜线PQ的斜率U直线/的斜率，采用了化归的思想，此方法虽思路口然，但运算较繁.下面我们探讨別一种方法“【设计意图】方案一是推导公式的基本办法，但是合理不合情，计算太复杂，让学生实践体会，也为今后圆
锥曲线的学习做准备，即如何优化解题.同时较多的同学在有限的时间里并不能得到准确的答案，使学生经历了挫折教育•学生会发现这种解法的缺陷，于是愿意探求其他更优的解法.教师活动：继续引导子生探求其他解法，逐步提问，层层深入：（1）不求点Q的坐标行吗？（2）线段PQ的长度如何求?（引导学生想到构造三角形）（3）如何构造?（学生讨论）从而得出：方案二：设AHO,B工0,这吋/与x轴、7轴都相交,平行线,交/于点S（兀。』2），AA\X\+阳+c=o［Ax.+By2+C=0侍站所以，IP/?I=I%()-%)IAx0+By+CIpsI=Iy()~\RS\=QPR?+PS?\PR\-\PS\,AAx{)+ByQ+Cd•I7?S|=^A2+B2\AB\xI/Xo+Bpo+C|山三角形血枳公式可知:所以d二【设计意图】采用开放式教学，充分发挥学牛的主观能动性，拓宽思维•通过师生互动，从方案一的“自然接受”一>方案二的“巧妙构造"，使学生看到希望，让学生认识到学习数学是可以捉高能力的.在实际教学中,可能会遇到其他解法，应鼓励学生积极发表门己的意见，锻炼学生的胆址与表达能力，亦可留做课示思考,具体处理视课堂情况灵活处理.三、理解新知问题：公式有哪些结构特征？公式在A=0或者5=0时还成立吗？公式的分子：保帘直线方程一般式的风格，充分表明公式与直线方程有关.公式的分母：冇点距离公式的味道.象其他我们学过的一•些公式一样，公式简洁明了，给我们一种端庄秀丽的美感，并且公式在力=0或者5=0时仍然成立.【设计意图】让学生快速记住公式，同时让学生感受数学美.四、运用新知例1求点P（-1,2）到直线3兀=2之间的距离.解：原式可化为3x-2=0,所以d=［提问其他方法］学生作答:25解：因为直线3x=2平行于y轴,所以d=|y-（-l）|=-.点评：例1（1）直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；（2）体现了求点到直线距离的灵活性,并没有局限于公式.【设计意图】强化学生对公式的记忆和应用.同吋，“代入公式计算询，首先应将总线方程化为一般式,以便确定系数A、B的值"是学生在应用公式中，容易忽略的环节.特殊情况并没有局限于公式.变式一点A（a,6）到直线3x-4y=2的距离等于4,求a的值.13
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