高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

精品文档3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离自学导引1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.进一步体验解析几何的基本思想，初步掌握用解析法研究几何问题的方法课前热身1.在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(xo,yo),直线l的方程是Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离d=.2.若直线l的方程Ax+By+C=",B=0,则Aw0,其方程为x=-C，此时点P(xo,y0)到该直A线的距离d=若直线l的方程Ax+By+C=0,A=0,则Bw0,其方程为y=-£此时点P(x°,y0)到该直线的距离d=.名师讲解1.点到直线的距离公式点P(x°,y0)到直线Ax+By+C=0(A,那同时为零)的距离|斯+斯+C|使用此公式应注意以下几点：(1)若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离(2)若点P在直线上，点F0直线的距离为零，距离公式仍然适用.(3)点到几种特殊直线的距离：①点P(x0,y0)至［x轴的距离d二|y0|;②点P(x0,y0)至Uy轴的距离d二|x0|;③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|;④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.2.两平行线间的距离,也可以应用公式.(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离(2)应用两平行线间的距离公式d=C1-C2.A2B2时，两直线方程必须是一般形式.而且x,y的系数对应相等.(3)当直线与坐标轴垂直时，可利用数形结合法来解决.①两直线都与x轴垂直时，l1：x=x1,l2：x=x2则d=|x2-x1|;②两直线都与y轴垂直时，l1：y=y1,l2：y=y2,则d=|y2-y4.题型一距离公式的应用例1:求过点M(-2,1)且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线方程.分析：可利用待定系数法求直线方程,也可用平面几何知识,先判断直线l与直线AB精品文档 精品文档勺位置关系.事实上,l//AB£l过线段AB勺中点时，都满足题目的要求.解：当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x+2).即kx-y+2k+1=0.由条件得|一)一2+2"+1113k+2"+1|1解得k=0或k=-.2故所求的直线方程为y=1或x+2y=0.当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线.规律技巧：与定直线的距离为定值的点的集合是与定直线平行的两条平行直线，因此，由点到直线的距离公式和求轨迹方程的方法即可求得所求的方程.变式训练1:求点P(1,2)到下列直线的距离(1)l1:y=x-3;⑵l2:y=-1;(3)y轴(x=0).解：(1)点P(1,2)到直线x-y-3=0的距离为心中;2也；⑵点P(1,2)到直线y=-1的距离为d=|2-(-1)|=3.⑶点P(1,2)到直线x=0的距离为d=1.题型二平行线之间的距离解：在直线x+3y-4=0上选点P(4,0),那么点P(4,0)到直线2x+6y-9=0的距离d就是两条平行线之间的距离.•♦•两条平行线之间的距离/8-9|_加仁而二规律技巧：一般地，已知两条平行线11：Ax+By+C=0,l2：Ax+By+G=0(CwG).设P(x0,y0)是直线12±的任意一点，贝UAxD+Byo+G=。，即Ax3+Byo=-C2.于是，点P(x0,y0)至U直线11：Ax+By+C=0的距离dJ/+防+(I=Iq-CI就是两平行直线11与12之间的距离.应用公式时要注意11?12中x?y的系数必须对应相精品文档 精品文档变式训练2:求下列两条平行线之间的距离(1)5x-12y+2=0与5x-12y+15=0;(2)6x-4y+5=0与y=3x.2解:0)d==1.(2)方程y=-工可变形为6x-4y=0.2,55713后十小一三"'题型三综合应用分析：(1)可先求出l1与l2的交点，再设出点斜式方程求解.也可以先设出所求直线的直线系方程，利用条件确定参数的值,从而求得直线的方程.⑵解答本题可采用数形结合，分析出点傩U直线l的最大值,然后应用点到直线的距离公式求出.、,2x+y-5=0、,解:(1)方法1:由1y50,得交点B(2,1).x-2y=0当直线斜率存在时，设l的方程为\5k+\-2k\.『—二3避十1解得:k=—y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.・•.l的方程为y-1=4(x-2),3即4x-3y-5=0.方法2:设经过已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+入(x-2y)=0,即(2+入)x+(1-2入)y-5=0.15(2+㈤-5|aV;(2i2)?i(I2A/即2入2-5入+2=0,解得人=2或入=1.2・•.l的方程为4x-3y-5=0或x=2..2x+y-5=0.⑵由J，解得父点B(2,1).、x-2y=0过点推意作直线1,设d为傩U直线l的距离,则d/21).16解析：由x2+y2的实际意义可知，它代表直线x+y-4=0上的点到原点的距离的平方它的最小值即为原点到该直线的距离的平方,22..42o(xy)min~(—)=8精品文档精品文档精品文档 精品文档答案:A精品文档 精品文档4.到直线3x-4y-1=0的距离为2的直线方程为()A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y-11=0或3x-4y+9=0D.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0解析：设所求直线方程为3x-4y+k=0,由题意得卜1=23242|k+1|=10,.*=9或k=-11.故所求方程为3x-4y+9=0或3x-4y-11=0.答案：C5.直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点的个数为()A.3B.2C.1D.0解析：设直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点为P(x0,y0)依题意有:|xo|=|yo|,即yo=±x°又7x0+3y0-21=0，显然和*—07x0+3y0-21=0、7x0+3y0-21=0都有解，故直线上有两个点适合题意.答案:B6.过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为.解析：当过点A(2,1)的直线与OA1直时，原点到直线的距离最远，所以斜率k=-2,直线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=07.两平行线3x+4y+5=W6x+ay+30=0间的距离为d,则a+d=15-5解析：由两直线平行知，a=8,d=!——1=25a+d=10.能力提升8.两条平行线分别过点P(-2,-2),Q(1,3),它们之间的距离为d,如果这两条直线各自绕点P,Q旋转并保持平行，则d的取值范围是.解析：当这两条直线li,l2与直线PQ垂直时，d达到最大值，此时d=|PQ|=J(1+22+(3+22;⑸.又li,l2保持平行，不能重合.••.0