3.3.3点到直线的距离疱丁巧解牛知识·巧学一、点到直线的距离1.从直线外一点向该直线引垂线，所得垂线段的长度称为点到直线的距离.2.若P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离为d=.3.点到直线的距离公式适用于任何情况.其中点P在直线l上时，则点P到直线l的距离为0.4.应用点到直线距离公式解决某些综合问题时，常常借助于平面几何的有关结论，数形结合在本部分应用比较广泛.5.点到直线的距离公式为用解析法解决问题提供了依据,并且某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离公式来求.误区警示(1)这个式子对A＝0或B＝0时的特殊情况下的直线仍成立，但实际运用比较麻烦，不如直接画出图形，观察即可得出.如点P（-1，2）到直线y＝4的距离为d＝｜4-2｜＝2，到直线x＝-5的距离为d＝｜-1-（-5）｜＝4.(2)点到直线的距离公式是本节的重要公式，其用途十分广泛.在使用此公式时，应先将直线的方程整理为一般式.另外，公式中的分子含有绝对值符号.问题·探究问题1点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离.那么使用点到直线的距离公式的前提条件是什么？点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离的计算步骤是什么？探究:使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线方程先化为一般式方程.点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离的计算步骤是：(1)给点的坐标赋值：x0=?,y0=?；(2)给A、B、C赋值：A=?,B=?,C=?；(3)计算d=；(4)给出ｄ的值.问题2如果A、B是平面上位于一条直线l外的两个不同的点，你能否在该直线上确定一个点P，使得｜PA｜+｜PB｜最小？有哪些情况？分别如何解决？探究:该问题共有两种情况：一是两点A、B在直线l的同侧；二是两点A、B在直线l的异侧.所以直线上点的确定可以分两种情况来分析.(1)若A、B两点在直线l同侧，将A、B中任意一点对称过去，如将B关于l的对称点B′求出，连结AB′，交l于P点，因为｜PB′｜=｜PB｜，所以｜PA｜+｜PB｜最小.(2)若A、B两点在直线l异侧，连结AB,交l于点P，则｜PA｜+｜PB｜最小.其原理是：设P′是l上与P不重合的任意一点，则三点P′、A、B构成三角形，所以｜P′A｜+｜P′B｜＞｜PA｜+｜PB｜=｜AB｜.典题·热题例1求过点M(2，3)且与点P(1，0)距离是1的直线的方程.思路解析：考查点到直线的距离和直线方程的求法，可先根据条件设出所求直线的方程，由点线距离公式及题意求得待定的系数，由于在设直线方程时不包括斜率不存在时的直线，所以最后还需对直线x=2进行检验.解：当直线的斜率存在时，设过点M(2，3)且与点P(1，0)距离是1的直线的方程是y-3=k(x-2)，将其化为一般形式得kx-y-2k+3=0.
由点到直线的距离得P点到直线的距离是d=，解得k=，所求直线方程为4x-3y+1=0.当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2也满足已知条件.综上可知，所求直线方程为4x-3y+1=0或x=2.误区警示在求直线方程时，一般情况下，若直线过定点可设直线的点斜式方程.但要注意在直线的点斜式方程中不含斜率不存在的直线，即斜率不存在的直线不能用点斜式表示，所以应验证斜率不存在的直线是否满足已知条件.注意不要漏解.例2已知点P(2，-1)，求：(1)过点P且与原点的距离为2的直线方程.(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值.(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.思路解析：由已知条件求直线的方程，往往用待定系数法，设好直线的方程后，由于题目条件与点到直线的距离有关，所以根据点到直线的距离公式列关系式求解未知量即可.解：(1)当斜率不存在时，方程x=2适合题意.当直线的斜率存在时，设为k，则直线方程应为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0.根据题意，解得k=.∴直线方程为3x-4y-10=0.∴适合题意的直线方程应为x-2=0或3x-4y-10=0.(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程应为过点P且与OP垂直的直线.易求其方程为2x-y-5=0，且最大距离d=.(3)不存在.由于原点到过点(2，-1)的直线的最大距离为，而，故不存在这样的直线.深化升华解决此题要注意两点，一是已知直线上一点坐标设直线方程时，一定要考虑到验证斜率不存在的特殊情况.二是对于存在性问题的解决方式，可以通过反例否决，如本题第(3)问，也可以先假设存在，然后在正确的逻辑推理下得出未知数的解，则存在，若得不出合乎条件的量，则不存在.例3直线4x+3y-12=0与x轴、y轴分别交于点A、B.(1)求∠BAO的平分线所在直线的方程；(2)求O到∠BAO的平分线的距离;(3)求过B与∠BAO的平分线垂直的直线方程.思路解析：角平分线的性质：在角平分线上的点到角两边的距离相等.在角平分线上任取一点P(x，y)，利用它到角两边的距离相等列出关系式，化简求解.另外结合图形分析∠BAO的平分线只有一条，从而斜率是唯一的，观察图形便知斜率的正负情况.解：(1)由直线4x+3y-12=0，令x=0，得y=4，令y=0，得x=3，即B(0，4)，A(3，0).由图3-3-4可知，∠BAO为锐角，∴∠BAO的平分线所在直线的倾斜角为钝角，其斜率为负数.
图3-3-4设P(x，y)为∠BAO的平分线上任意一点，则点P到OA的距离为｜y｜，到AB的距离为.由角平分线性质，得｜y｜=.∴4x+3y-12=5y或4x+3y-12=-5y，即2x-y-6=0或x+2y-3=0.由于斜率取负值，故∠BAO的平分线所在直线的方程为x+2y-3=0.(2)由(1)，原点O(0，0)到∠BAO的平分线所在直线x+2y-3=0的距离为.(3)由于∠BAO所在直线的斜率为，∴与其垂直的直线的斜率为2.∴过点B且与其垂直的直线方程为y=2x+4，即2x-y+4=0.深化升华当题目给出的条件与特殊的平面图形相关时，如与正方形、正三角形、圆等，要注意挖掘特殊图形的性质，并根据这一性质列出关系式解题.如果涉及平面图形中的一些特殊位置，如正方形的中心、三角形的重心、垂心、外心、内心、角分线等时，也要根据其定义与性质列出相应关系式.如本题中出现了一个角的平分线问题，一是考虑定义，角分线上的点到角的两边距离相等，二是可以利用对称问题，角的一边上的任一点关于角分线的对称点一定在角的另一边上.
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