高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

第2课时垂线段与点到直线的距离1．掌握垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(重点)2．理解垂线段最短的性质及点到直线的距离的概念．(重点、难点)一、情境导入如图，要想从图中的点P处修一条小路与公路相连，应怎样修才能使路程最短？二、合作探究探究点一：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(2015·扶沟县期中)如图，已知ON垂直于直线l，OM垂直于直线l，所以OM与ON重合，其理由是()A．两点确定一条直线B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在同一平面内，过一点只能作一条直线D．垂线段最短解析：A.点M、N可以确定一条直线，但不可以确定三点O、M、N都在直线l的垂线上，故本选项错误；B.直线OM、ON都经过一个点O，且都垂直于直线l，故本选项正确；C.在同一平面内，过直线外一点只能作一条垂线，但可作无数条直线，故本选项错误；D.此题没涉及线段的长度，故本选项错误．故选B.方法总结：本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短．正确理解它们的含义是解题的关键．探究点二：垂线段【类型一】垂线段的性质A为直线l外一点，B为直线l上一点，点A到l的距离为3cm，则AB________3cm，根据是________________．解析：当AB⊥l时，AB为垂线段，垂线段最短，此时AB＝3cm；当AB与l不垂直时，AB>3cm，故AB≥3cm.故答案为≥，垂线段最短．方法总结：本题是“垂线段最短”的灵活应用题，解答此题时要注意体会从特殊到一般的思维方式的运用．【类型二】有关垂线段的作图如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短． 方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．探究点三：点到直线的距离如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.(1)试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；(2)点C到直线AB的距离是多少？解析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积法求得．解：(1)点A到直线BC的距离是3；点B到直线AC的距离是4；1112(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，所以5CD＝3×4，所以CD＝，所以22512点C到直线AB的距离为.5方法总结：垂线段与点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，而点到直线的距离是垂线段的长度．三、板书设计1．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2．垂线段最短3．点到直线的距离通过实际生活中的情景引入课题，激发学生的学习兴趣．本节课概念容易混淆，如垂线、垂线段、点到直线的距离等，可结合图形进行说明，帮助学生理解