点到直线的距离
l
.P点到直线的距离l
lP.oxy:Ax+By+C=0(x0,y0)点到直线的距离
________________________________的长度。过点P作l的垂线,P与垂足之间1.点到直线的距离是指PlQ复习回顾
新课引入问题1:已知点P(-1,2),和直线l:x-5=0,求P点到直线l的距离.变式:已知点P,和直线l:Ax+C=0(),求P点到直线l的距离.OXYQ
问题2:已知点P(-1,2),和直线l:y-10=0,求P点到直线l的距离.变式:已知点P,和直线l:By+C=0(),求P点到直线l的距离.QXYO
问题3:已知点P(-1,2),和直线L:2x+y-10=0,求P点到直线L的距离.先求出过P点和L垂直的直线:再求出L和L′的交点QL′QL′:x-2y+5=0Q(3,4)∴|PQ|=yL:2x+y-10=0P(-1,2)xo
变式:已知点P,和直线L:Ax+By+C=0(,),求P点到直线L的距离.LL1QP(x0,y0)L:Ax+By+C=0根据定义,点到直线的距离是点到直线的垂线段的长。过点P作直线L1⊥L于Q,怎么能够得到线段PQ的长?利用两点间的距离公式求出|PQ|.则线段PQ的长就是点P到直线L的距离.解题思路:步骤(1)求直线L1的斜率;(2)用点斜式写出L1的方程;(3)求出Q点的坐标;(4)由两点间距离公式d=|PQ|.
Oyxl:Ax+By+C=0P(x0,y0)1.此公式的作用是求点到直线的距离;2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的;3.如果A=0或B=0,此公式恰好也成立;4.用此公式时直线要先化成一般式。d
例1(问题3)求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0;②3x=2的距离。解:①根据点到直线的距离公式,得②如图,直线3x=2平行于y轴,Oyxl:3x=2P(-1,2)
变式1:点P(-1,2)与直线2x+y-10=0上所有点的连线中,最短距离是多少?变式2:△ABC中,BC也在直线2x+y-10=0上,且|BC|=10,A(-1,2),求变式3:已知A(-1,2),B(5,0),C(0,10),求例1.求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0的距离。
2求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。Oyxl2:2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0P(3,0)两平行线间的距离处处相等在l2上任取一点,例如P(3,0)P到l1的距离等于l1与l2的距离变式1:求两直线6x-21y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
Oyxl2l1PQ变式2:任意两条平行线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0的距离是多少呢?(两平行线间的距离公式)
2求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。535314变式1:求两直线6x-21y+8=0与2x-7y-6=0的距离。用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为对应相同的形式。
小结:(1)点到直线距离公式:,(2)两平行直线间的距离:,注意用该公式时应先将直线方程化为一般式;注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理为对应相等的形式。
思考题:用解析法证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。证明:建立如图直角坐标系,设P(x,0),x∈()OA(a,0)C(-a,0)B(0,b)xyEFP可求得lAB:()lCB:()|PE|=()|PF|=()A到BC的距离h=()因为|PE|+|PF|=h,所以原命题得证。
变式:已知点P,和直线l:By+C=0(),求P点到直线l的距离.变式:已知点P,和直线l:Ax+C=0(),求P点到直线l的距离.