“点到直线的距离”教学案例及反思民勤职专李荣仁一、教学目标（一）教学知识点1•点到直线距离公式。2.两平行线间距离。（二）能力训练要求1.理解点到直线距离公式的推导。2.熟练掌握点到直线的距离公式。3.会用点到育线距离公式求解两平行线间距离。（三）徳育渗透目标1.认识事物之间在-•定条件下的转化。2.用联系的观点看问题。二、教学重点点到直线的距离公式。三、教学难点点到冇线距离公式的推导思想与应用。四、教学方法（学导式）在引入本节的研究问题，点到直线的距离公式之后，引导学生积极思考，动手演练，分析点到直线跖•离的求解思路，一起分析探讨解决问题的务种途径，通过比较，选择其中一种较好的方案來具体实施，同时利用多媒体现代化手段增大教学容量和直观性，以培养学生分析问题进而解决问题的能力。在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生要与点到直线的距离产生联系，从而运用点到直线的距离公式求解。五、教学过程（一）课题导入［师］前而儿节课，我们一起研究学习了两直线的平行或乖直的充要条件、两直线的夹角公式、两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法。这一节，我们将研究怎样山点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。（二）讲授新课1•提出问题在平而直角坐标系中，如果己知某点P的坐标为（xO,yO）,直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢？［师］下面，我们一起分析这一问题的解决方案。首先看图1某校（点A）要从网络干线（直线）引进一条支线通进本校，在干线上选择哪一•点最好？［生］过八作AP丄于P,则P是最佳选择。［师］生活中类似问题很多，“垂线段最短”，就是求点到直线的距离，初中是用的几何办法，今天我们在解析几何中选用什么办法呢？
［生］代数办法解决几何问题。［师］先看—•个简单问题，图，点P（1,3）到直线的距离是，到直线的距离是师生反思：对一般问题呢？从特殊到一般是数学研究的普遍策略，我们看任一点P（xO,yO）到直线x=a的距离是,到直线y=b的距离是。（图2）［生］点P（xO,yO）到直线x=a的距离是1x0—al,到直线y=b的距离是lyO—bl。［师］别忘记绝对值符号，距离是个非负数！数形结合的话距离就是“横线段、纵线段”。（老师演示）［师］现在我们看更一般的问题,即：点P（x0,yO）到直线Ax+By+C=0的距离是什么呢？这比以前两个问题更富有挑战性，大家思考怎么办？［生］过P作垂直于的直线，求出该直线与的交点Q的坐标，再求出PQ的长。［师］此方法虽然思路白然、易想，但是大家看，方程全部是字母，求这点的坐标必然运算繁琐，更何况还要求PQ的长！我们应探讨出另一•种方法来，巧妙转化难点。［生］先求出MP、NP的长，在RtAPMN中，作斜边上的高PQ,利用等面积法求得PQ的长即可。看图（教师演示）［师］:M、N点的横、纵坐标分别为，那么MP二，NP=3［生］:,MP=NP=,贝I」于是得点P（xO,yO）到直线的距离公式师生反思：可以证明当A=0或B=0时，以上公式仍适用，于是我们得到平面内任一点到任一条直线的距离公式！大家看一下它的结构特征分子是什么？分母是什么？这就要求我们应用公式吋，必须先将方程化成一般式！这个公式体现着和谐美、对称美。但是如果直线是平行于x轴或y轴的直线时，我们一•般是不用公式更简单！（为什么呢？）［师］同学们我们以上给出了两种推导方法，第一种解析法易想不易算不可行，第二种等而积法看似麻烦却简咆易算易行！这就康示我们対于数学问题必须勒动于，切不可仅仅停留在想想而已！下而大家讨论一下这个公式还有别的证明方法吗？［生］我们小纟I［认为根据“乖线段最短”在直线上任取一点1?（）,则PRI的长度最小值就是点到克线的距离，BP|PR|=但是运算也比较繁！还得化简，再配方才可以！［师］的确这位同学思路新颖，用函数最小值的思想求距离，能够想到应用我们所学的知识來证明，这样非常好！给了鼓励！大家有兴趣课下继续把后而的证明完成！同学们对于这个公式的推导我们还町以应用以前学过的向量知识得到！下面大家看多媒体，我给出了具体证明过程如下，以供开阔思路（具体过程略）。□•知直线：Ax+By+OO和点率为，其方向向量为为直线上的任一点（如图所示），B二0时，上述公式仍成立。，‘为点到直线的距离。现不妨设且，则直线的斜,从而易知英法向量,又设点山平面向量的有关知识，可得：，能然，当A二0或［师］通过填表我们得到启示特殊情况特殊处理，具体问题具体分析是我们解决--切问题的核心！下而看儿个变式训练（多媒体）问题1：若点（4,m）到直线距离是3,求叽
问题2：若点（4,3）到直线的距离是3,求叽［师］这两题m的不同位置有不同效果！你能不能数形结合来说明一下？问题3：若点A(4,0).B(0,4),求定点Q(-1,-1)到直线AB上各点距离的最小值。［学生甲］可以认识它的本质是求点到直线的距离，所以直线AB为x+y-4二0,利用公式求点Q(-1,-1)到直线AB的距离即可。［学生乙］用平而几何知识而积法也可以求。［学生丙］设直线AB上动点P(x,y),则PQ二，代入PQ关系式利用函数思想也可以求得！［师］这道题引起大家的广泛兴趣。竟然涉及解析法、平几法、函数法，异彩纷呈。我们给予热烈掌声！问题4：求平行直线的距离。解法一：在直线上取一点P(4,0),因为，所以点P到的距离等于到的距离，于是。解法二：，山两平行线间的距离公式知：若，则之间的距离，于是得。(%1)教师让学生阅读教材相关内容，并做课堂练习六、课时小结通过本节学习，要求大家理解点到直线距离公式的推导过程，并熟练掌握点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离。七、课后作业(课本P53习题7.3)八、板书设计(略)九、教学后的反思这节课的关键是如何引导学生自然地想到构造RtA,从iftj推出公式。对于这个问题，教材中的处理方法是：没有说明原因而直接作辅助线,这样做无法展现为什么会想到要构造R(△这一最需耍学生探索的过程,不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与Z相应的丰富的数学思想方法。如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生进行填鸭式教学。事实上,为了真正实现以学生为主体的教学,让学生真正地参与进來，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容纽织形式。因此，笔者没有像教材中那样直接作辅助线，而是对教学内容进行重新设计，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学坏节，采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自C发现隐藏其中的Ri△。同时，笔者在教学过程中还设计了其它的证明方法，以开阔思路，增加见识，激发学习兴趣，并口以变式训练的形式來学习点到直线的距离公式在不同题型中的应用！简言之，本设计力求以启迪思维为核心，充分运用己学过的知识，引导学生学会利用转化思想，山浅入深，山特殊到--般地研究数学问题，不仅探索出公式的表达式，还多角度地找到不同证明思路，能使学生在探索过程屮深刻地领悟到蕴涵于公式推导川的重要的数学思想和方法，从而培养了学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。
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