应用点到直线距离公式的变形解题

应用点到直线距离公式的变形解题辽宁锦州义县高级中学数学组 周宝生解析几何中，公式表示点到直线的距离，我们可以应用这个公式的变形解证一类不等式或函数值域问题、参数取值范围问题，下面给出这个公式的三种变形并应用解题。变形1 这个公式的几何意义是：过原点的直线外的任意一点M到直线的距离不大于这点到原点的距离。若将变形公式两边平方即可得到柯西不等式：例1求函数的最值解：令利用可得变形2 这个公式的几何意义是：过直线外的任意一点M到直线的所有点的连线段中，垂线段最短。例2若，求函数的最小值 解：由题意可知理解为点到点（2，1）距离的平方，点（2，1）在直线外，由变形公式有即可得变形3若R>0,则大于R，等于R、小于R分别表示直线和定圆相离、相切、相交例3求的值域解：把y换为原式变形为这个式子表明点既在直线上，又在圆上，也就说直线和圆有公共点，有解得或值域为例4关于的方程有实数解，求的取值范围解：方程变形为，由题意可知直线和单位圆有公共点，从而有解得故m的取值范围：本文利用点到直线距离公式的变形解决了一些问题，应用变形公式解决最值或参数取值范围问题的时候，可以起到形象直观、化繁为简的效果，有助于发散思维的培养和创新意识的提高。