“点到直线的距离”教学案例及反思民勤职专李荣仁一、教学目标(一)教学知识点 1.点到直线距离公式。 2.两平行线间距离。 (二)能力训练要求 1.理解点到直线距离公式的推导。 2.熟练掌握点到直线的距离公式。 3.会用点到直线距离公式求解两平行线间距离。 (三)德育渗透目标 1.认识事物之间在一定条件下的转化。 2.用联系的观点看问题。 二、教学重点 点到直线的距离公式。 三、教学难点 点到直线距离公式的推导思想与应用。 四、教学方法(学导式) 在引入本节的研究问题，点到直线的距离公式之后，引导学生积极思考，动手演练，分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较，选择其中一种较好的方案来具体实施，同时利用多媒体现代化手段增大教学容量和直观性，以培养学生分析问题进而解决问题的能力。 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生要与点到直线的距离产生联系，从而运用点到直线的距离公式求解。 五、教学过程 (一)课题导入 [师]前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件、两直线的夹角公式、两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法。 这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。 (二)讲授新课 1.提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢？ [师]下面，我们一起分析这一问题的解决方案。首先看图1某校（点A）要从网络干线(直线)引进一条支线通进本校，在干线上选择哪一点最好？ [生]过A作AP⊥于P，则P是最佳选择。 [师]生活中类似问题很多，“垂线段最短”
，就是求点到直线的距离，初中是用的几何办法，今天我们在解析几何中选用什么办法呢？ [生]代数办法解决几何问题。 [师]先看一个简单问题，图，点P（1，3）到直线的距离是 ，到直线的距离是 师生反思：对一般问题呢？从特殊到一般是数学研究的普遍策略，我们看任一点P（x0，y0）到直线x=a的距离是 ，到直线y=b的距离是 。 （图2） [生]点P（x0，y0）到直线x=a的距离是|x0—a|，到直线y=b的距离是|y0—b|。 [师]别忘记绝对值符号，距离是个非负数！数形结合的话距离就是“横线段、纵线段”。（老师演示） [师]现在我们看更一般的问题，即：点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离是什么呢？这比以前两个问题更富有挑战性，大家思考怎么办？ [生]过P作垂直于的直线，求出该直线与的交点Q的坐标，再求出PQ的长。 [师]此方法虽然思路自然、易想，但是大家看，方程全部是字母，求这点的坐标必然运算繁琐，更何况还要求PQ的长！我们应探讨出另一种方法来，巧妙转化难点。 [生]先求出MP、NP的长，在RtΔPMN中，作斜边上的高PQ，利用等面积法求得PQ的长即可。看图（教师演示） [师]：M、N点的横、纵坐标分别为 ，那么MP= ，NP= 。 [生]：， MP=NP=，则于是得点P(x0，y0)到直线的距离公式 师生反思：可以证明当A=0或B=0时，以上公式仍适用，于是我们得到平面内任一点到任一条直线的距离公式！大家看一下它的结构特征分子是什么？分母是什么？这就要求我们应用公式时，必须先将方程化成一般式！这个公式体现着和谐美、对称美。但是如果直线是平行于x轴或y轴的直线时，我们一般是不用公式更简单！（为什么呢？） [师]同学们我们以上给出了两种推导方法，第一种解析法易想不易算不可行，第二种等面积法看似麻烦却简单易算易行！这就启示我们对于数学问题必须勤动手，切不可仅仅停留在想想而已！下面大家讨论一下这个公式还有别的证明方法吗？[生]我们小组认为根据“垂线段最短”在直线上任取一点R（），则|PR|的长度最小值就是点到直线的距离，即|PR|=但是运算也比较繁！还得化简，再配方才可以！ [师]的确这位同学思路新颖，用函数最小值的思想求距离，能够想到应用我们所学的知识来证明，这样非常好！给予鼓励！大家有兴趣课下继续把后面的证明完成！同学们对于这个公式的推导我们还可以应用以前学过的向量知识得到!下面大家看多媒体，我给出了具体证明过程如下，以供开阔思路(具体过程略)。 已知直线：Ax+By+C=0 和点 ，，为点到直线的距离。现不妨设且，则直线的斜率为 ，其方向向量为 ，从而易知其法向量 ，又设点 为直线上的任一点（如图所示）， 由平面向量的有关知识，可得：，显然，当A=0或B=0时，上述公式仍成立。
[师]通过填表我们得到启示特殊情况特殊处理，具体问题具体分析是我们解决一切问题的核心！下面看几个变式训练（多媒体） 问题1：若点（4，m）到直线距离是3，求m。 问题2：若点（4，3）到直线的距离是3，求m。 [师]这两题m的不同位置有不同效果！你能不能数形结合来说明一下? 问题3：若点A（4，0）.B（0，4），求定点Q（-1，-1）到直线AB上各点距离的最小值。 [学生甲]可以认识它的本质是求点到直线的距离，所以直线AB为x+y-4=0，利用公式求点Q（-1，-1）到直线AB的距离即可。 [学生乙]用平面几何知识面积法也可以求。 [学生丙]设直线AB上动点P（x，y），则PQ=，代入PQ关系式利用函数思想也可以求得！ [师]这道题引起大家的广泛兴趣。竟然涉及解析法、平几法、函数法，异彩纷呈。我们给予热烈掌声！ 问题4：求平行直线的距离。 解法一：在直线上取一点P（4，0），因为，所以点P到的距离等于到的距离，于是。 解法二：，由两平行线间的距离公式知：若，则之间的距离，于是得。 (三)教师让学生阅读教材相关内容，并做课堂练习 六、课时小结 通过本节学习，要求大家理解点到直线距离公式的推导过程，并熟练掌握点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离。 七、课后作业(课本P53习题7．3) 八、板书设计(略) 九、教学后的反思 这节课的关键是如何引导学生自然地想到构造Rt△，从而推出公式。对于这个问题，教材中的处理方法是：没有说明原因而直接作辅助线，这样做无法展现为什么会想到要构造Rt△这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生进行填鸭式教学。事实上，为了真正实现以学生为主体的教学，让学生真正地参与进来，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容组织形式。因此，笔者没有像教材中那样直接作辅助线，而是对教学内容进行重新设计，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的Rt△。同时，笔者在教学过程中还设计了其它的证明方法，以开阔思路，增加见识，激发学习兴趣，并且以变式训练的形式来学习点到直线的距离公式在不同题型中的应用！ 简言之，本设计力求以启迪思维为核心，充分运用已学过的知识，引导学生学会利用转化思想，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，不仅探索出公式的表达式，还多角度地找到不同证明思路，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，从而培养了学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。
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