点到直线距离公式的另外几种推导方法

点到直线距离公式的另外几种推导方法贵州省纳雍县第一中学（553300）黄明“点到直线的距离公式”是人教版高二数学（上册﹒必修）的重点内容，教材在推到公式之后给出“请研究一下，如何用其它方法推导上面的距离公式”的伏笔，因此，笔者给出另外几种推导方法，供大家参考。1点到直线的距离公式在平面直角坐标系中，已知点P（x0,y0），直线l：Ax+By+C=0(A﹒B≠0).设点P（x0,y0）到直线l的距离为d，则d=。当A=0或B=0，上面的公式依然适用。当然，也可以不用上面的距离公式，即当A=0且B≠0时，直线l：y=－，d==；当A≠0，B=0时，直线l：x=－，d==y2公式的另外几种推导方法l方法1利用直角三角形的面积公式xA﹒B≠0，∴直线l必与两坐标轴相交，如图1，作PM‖x轴交直线l于M，作PN‖y轴交直线l于N，作PQ⊥l于Q，则d=∣PQ∣，d既是点P到直线l的距图1离，又是Rt△MPN的高.∴d=(※)设M（x1,y0），N（x0,y2），∵M、N∈l，易求出x1=,y2=.∴∣PM∣=∣x1-x0∣=∣∣……①∣PN∣=∣y2-y0∣=∣∣……②∣MN∣==﹒∣Ax0+By0+C∣……③ 将①②③代入（※）得：d=(A2+B2≠0).方法2利用两点间的距离公式教材指出，由PQ⊥l可知直线PQ的斜率为，可求出PQ所在直线的方程，从而可求出交点P的坐标，再用两点间的距离公式求∣PQ∣。“这种方法思路自然，但运算较繁”，可是，如果在推导过程中注意运算技巧，也并不繁琐！方法2—1如图1，设Q（a,b），则d=∣PQ∣=，易得直线PQ的方程为y-y0=(x-x0),即Bx-Ay=Bx0-Ay0.从而有,解之,a=,∴a-x0=-,b-y0=-∴d=∣PQ∣==(A2+B2≠0).方法2—2如图1，由方法2—1有由(1)2+(2)2得：(A2+B2)(a-x0)2+(A2+B2)(b-y0)2=(Ax0+By0+C)2,∴(a-x0)2+(b-y0)2=,∴d=∣PQ∣==(A2+B2≠0). 方法3利用换元法在方法2—2中，设b-y0=Bt,a-x0=At,代入(1)得(A2+B2)t=-(Ax0+By0+C)∴t=,∴d=∣PQ∣===(A2+B2≠0).y方法4利用向量法l显然，直线l的法向量=（A，B），设P1（x1,y1）是x直线l上与Q不重合的任意一点，当为锐角时，d=∣PQ∣=cos（如图2）；图2当为钝角时，lyd=∣PQ∣=cos(-)=-cos=∣cos∣（如图3）.x∴无论直线l的法向量=（A，B）的方向如何，均有d=∣PQ∣=∣cos∣.又∵﹒＝，图3∴d=＝＝又∵P1（x1,y1）在直线上，∴Ax1+By1+C=0代入上式，得d=(A2+B2≠0)。