高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 试题解析

2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题第三章3.33.3.33.3.4A级 基础巩固一、选择题1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于( C )A．3  B．7  C．  D．[解析] 在3x＋4y－2＝0上取一点(0，)，其到6x＋8y－5＝0的距离即为两平行线间的距离，d＝＝.2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为( B )A．  B．  C．  D．4[解析] BC边所在直线的方程为＝，即x＋y＋1＝0；则d＝＝.3．若点A(－3，－4)、B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( C )A．  B．－C．－或－  D．或[解析] 由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( C )A．(1,2)  B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)  D．(2,1)或(－1,2)[解析] 设点P的坐标为(x0，y0)，则有，解得或.5．已知点A(1,3)、B(3,1)、C(－1,0)，则△ABC的面积等于( C ) 2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题A．3  B．4  C．5  D．6[解析] 设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.6．直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为，则直线l的方程是( A )A．x＋y－＝0  B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0  D．x＋y＋＝0[解析] 方法1：因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又l在y轴上截距为，所以所求直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－＝0.方法2：将直线y＝x＋1化为一般式x－y＋1＝0，因为直线l垂直于直线y＝x＋1，可以设直线l的方程为x＋y＋c＝0，令x＝0，得y＝－c，又直线l在y轴上截距为，所以－c＝，即c＝－，所以直线l的方程为x＋y－＝0.二、填空题7．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则l1与l2间的距离为__或__.[解析] ∵l1∥l2，∴，解得k＝3或k＝5.当k＝3时，l1：y＝－1，l2：y＝，此时l1与l2间的距离为；当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，此时l1与l2间的距离为＝.8．过点A(－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是__3x－y＋10＝0__.[解析] 当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大．∵kOA＝－，∴所求直线的方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0.三、解答题 2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题9．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其它三边的方程.[解析] 由，解得.即该正方形的中心为(－1,0)．所求正方形相邻两边方程3x－y＋p＝0和x＋3y＋q＝0.∵中心(－1,0)到四边距离相等，∴＝，＝，解得p1＝－3，p2＝9和q1＝－5，q2＝7，∴所求方程为3x－y－3＝0,3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0.10．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0.求m的值，使它分别满足以下条件：(1)l1，l2，l3交于同一点；(2)l1，l2，l3不能围成三角形.[解析] (1)由4x＋y－4＝0得y＝－4x＋4代入l2，l3的方程中分别得x1＝，x2＝，由＝，解得m＝－1或，经检验都符合题意．(2)首先由(1)知，当m＝－1或时，不能围成三角形；又kl1＝－4，kl2＝－m，kl3＝，若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；由于kl2与kl3异号，显然l2与l3不平行．综上知，m＝－1，－，或4.B级 素养提升一、选择题1．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( C )A．  B．  C．3  D．6[解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3. 2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题2．(2016·潍坊高一检测)与直线l：3x－4y－1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是( A )A．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0B．3x－4y－11＝0C．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0D．3x－4y＋9＝0[解析] 设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由题意得＝2，解得m＝9或－11.3．到两条直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：5x－12y＋13＝0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程( D )A．x－4y＋4＝0B．7x＋4y＝0C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0[解析] 结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得＝，即＝±，化简得7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0.4．(2016～2017山西吕梁汾阳四中期中)已知两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为( D )A．4  B．  C．  D．[解析] ∵两直线平行，∴＝.∴m＝2.∴两直线方程为6x＋2y－6＝0和6x＋2y＋1＝0，其距离d＝＝.故选D．二、填空题5．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是__8__.[解析] x2＋y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，∵原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝2， 2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题∴x2＋y2最小值为8.6．已知点A(1,1)、B(2,2)，点P在直线y＝x上，则当|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的坐标为__(，)__.[解析] 设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t－1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－18t＋10＝10(t2－t＋1)＝10(t－)2＋，当t＝时，|PA|2＋|PB2|取得最小值，即P(，)．C级 能力拔高1．(2016～2017·嘉兴高一检测)在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2).(1)求直线BC的方程．(2)求直线AB的方程．[解析] (1)设AD⊥BC，垂足为D，则kAD＝，∴kBC＝－2.∴BC边所在直线方程为y－2＝－2(x－1)．即2x＋y－4＝0.(2)∵∠A的平分线所在直线方程为y＝0，∴设A(a,0)．又点A在直线AD上，∴a－0＋1＝0，∴a＝－1.∴A(－1,0)，∴直线AB方程为：y＝x＋1.即x－y＋1＝0.2．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程.[解析] 解法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，∴设点M坐标为(t,3－t)，则点M到l1、l2的距离相等，即＝，解得t＝，∴M.又l过点A(2,4)， 2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题由两点式得＝，即5x－y－6＝0，故直线l的方程为5x－y－6＝0.解法二：设与l1、l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋c＝0，由两平行直线间的距离公式得＝，解得c＝0，即l3：x－y＝0.由题意得中点M在l3上，又点M在x＋y－3＝0上．解方程组，得.∴M.又l过点A(2,4)，故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0.解法三：由题意知直线l的斜率必存在，设l：y－4＝k(x－2)，由，得.∴直线l与l1、l2的交点分别为，.∵M为中点，∴M.又点M在直线x＋y－3＝0上，∴＋－3＝0，解得k＝5.故所求直线l的方程为y－4＝5(x－2)，即5x－y－6＝0.