万方数据￡．锨幺镌穰彩爱踢绲舅私绳。儡舅爱锣中学数学杂志2009年第1期点到直线的距离公式的十三种证明方法湖北省鄂州市沼山中学436061余树林袁新宝点到直线距离公式是一个很重要的公式，然而很多老师和学生更多的只是重视它的应用，而对于公式本身的证明却未引起足够的重视，尽管教材中提示大家“请研究一下如何用其他方法推导点到直线的距离公式”，但依然不能引起广大师生的足够重视，笔者以为：对于一个公式的推导比运用这个公式来解决一些问题对我们的思维来讲更具有价值．下面笔者从不同角度来思考点到直线的距离问题，得到多种用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法，供各位同仁参考．已知点P(‰，Yo)，直线Z：Ax+By+C=0(A、B均不为0)，求点P到直线Z的距离．(因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线)1用定义法推导点到直线的距离公式如图l，点P到直线Z的距离是点P到直线Z的垂线段的长，过点P做直线z的垂线为六垂足为Q，由z上z，可知f，的斜率为导．所以z，的方程：y-Yo：导(戈一菇。)与Z联立方程组．解得交点yP戈，～D／一／图1Qc争等，盟等，IPQ2=(盟茅一B2Yo—ABxoA2+B2(—B—2x—o——-iA—_B—y—oj-—-—A—C一一菇。)2+A、2+B2“o7’、2一YoJ—A2菇。一AByo—AC、2A2J-B27删删=等等·2用设而不求法推导点到直线的距离公式如图2，过已知点P(x。，Yo)作已知直线l：Ax+By+C=0的垂线，设垂足为Q(x，Y)，则{鬻’：o简图2得IA(y—yo)一B(戈一戈。)：otA(x一戈o)+B(y—Yo)=t(Axo+Byo+C)把上面两式相加得：(A2+曰2)[(戈一XO)2+(Y—yo)2]=(Axo+Byo+C)2，所以d=~／(省一X0)2+(Y—Yo)2=!垒兰!±皇兰!±鱼!而丽。3用目标函数法推导点到直线的距离公式点P(xo，Yo)到直线l：Ax+By+C=0上任意一点的距离的最小值就是点P到直线z的距离．在Z上取任意点M(x，Y)，由两点的距离公式有lPM2f=(菇一X0)2+(y—Yo)2．为了利用条件舭+By+C=0，将上式变形一下，配凑系数处理得：(A2+曰2)[(菇一X0)2+(Y—yo)2]=A2x—X,0)2+B2(y—Yo)2+A2(y—yo)2+B2(髫一‰)2=[a(x一算o)+8(y—Yo)]2+[A(y—Yo)一B(xo—X0)]2≥[A(x一菇o)+B(y—Yo)]2=(Axo+Byo+A2(Axo+B‰+C)2+B2(Axo+Byo+C)2一(A2+B2)2(A戈o+Byo+C)22—■F再厂所以~／(石一戈o)2+(Y—y0)2≥I』4茗o+Byo+CI、?嚼弋i当且仅当A(y一‰)一B(x一‰)=0时取等号．所以最小值就是d：L丝哼譬掣√A‘+B‘4用柯西不等式(课本习题结论)推导点到直线距
万方数据中学数学杂志2009年第1期离公式旧教材(人教版，代数下册·必修)第15页习题十五第6题结论“求证：(Ⅱ2+b2)(c2+d2)≥(ac+6d)2，当且仅当口d=bc，即旦=导时等号成立．”Ca实为柯西不等式的最简形式，用它可以非常方便地推出点到直线的距离公式．设肘(髫，Y)为直线1：Ax+毋+C=0上任意一点，任意点P(xo，‰)到直线Z的距离为d，则：lPMl=~／(戈一X0)2+(y—Yo)2，所以lP肘l2=(Ax—Axo)2(By一甄)2—■r十—■厂卅2彬)l朋12-(A2+鳓[掣．(By—Byo)21十——否厂～j≥(Ax—A石o+母y一召九)2=(一Axo—Byo—C12所以d=IPMI血=L竺与罢掣，当且仅~／A2+艿‘当上：—旦-时等号成立．筇一石oY—Yo5用解直角三角形法推导点到直线距离公式，y哆-／jp尸f、≮D‘、6＼x图3如图3，设直线Z的倾斜角为口，过点P作Y轴的平行线交Z于C(xl，Y1)，显然省l=戈o，所以Y1=一A石o+C—面一‘所以lPGI_ly0+竽l-AxQ+B，q+C曰易得[GPH=a或／GPH：180。一a，在两种情况下都有tan2／_GPH=tan2仅=各，，所以c。。／___GPH：_皇：4型一，．~／1+tan2a、／A2+口2’所以d=IPHI=IPGICOS[GPHI=IAzo+Byo+C．BIlA石o+Byo+ClB0丽如丽j6用三角形面积公式推导点到直线距离公式两点间距离公式的推导过程中，使用降维思想构造直角三角形，受此启示，当A·B≠0时，如图4，过点P(戈。，Y。)分别作平行于菇轴，Y轴的两条直线，分别交直线舭+B，，+C=0于点图4膨(一TByo+C，殇)、群(算：，一垒兰与笋)，贝4I船Pl=l"竿⋯ⅣP|．1％+警I．N；勾MP上ⅣP，所以RtAMPN中，由直角三角形的面积公式得：丢·IMPl．1ⅣPI=寻·lMNI·d，所以d=I尸QIPMIPNIlAxo+曰，，o+CI一。F丽下丽一。踊j7用向量法推导点到直线的距离公式由直线Z的方程舭+召y+C=0，(A，B不能同时为0)，可得直线Z的法向量为腮=(A，B)，过点P(‰，yo)作直线Z的垂线，垂足为H(x’，／)，则向量PH=An，艮口(石7一算o，Y’一Yo)=A(A，B)，所以工’=茗o+AA，Y’一Yo=AB，且IPHI=~／(茗7一菇o)2+(Y’一％)2=IAI徊2+B2，又因为点H(石7，Y7)在直线l上，所以就有：Ax’+By7+C=0，即A(xo+AA)+B(Yo+AB)+C=0，所以亢(A2+B2)=一(Axo+艿yo+C)，又因为A，B不同时为。，所以A=二垒等#学，所以IPHI=~／(戈’一石o)2+(Y’一Yo)2=⋯厅珂=I型铲I厅万，即：d：I赢I：些畦型．√A2+B28用向量射影公式推导点到直线的距离公式如图5，设R(戈，Y)是直线Z上的任意一点，直线Z的方向向量为m=(一日，A)，则直线Z的法向量为司=(A，曰)，赢=(石一xo，Y一％)，所以批莆=郾a(x一石o)+B(Y—Yo)以丽Axo+Byo+C=一。瓜啊21
万方数据点评向量是一种很好的工具，用向量处理，既避开了分类讨论，又体现了平面向量的工具性，会有事半功倍的效果．9利用两条平行直线间的距离处处相等推导点到直线距离公式如图6，如果过点P(‰，Yo)作Z：A并+研+C=0的平行线f‘：Ax+B)，一A搿。一Byo=0，刃5么直线Z’上任意一点到f的距离都等于点P到直线f的距离，既然可以任意取点，我们应设法使这个点到直线Z的距离容易求得，选取直线Z7与名轴的交点G(尘殳}竺殓，o)，过G作f的垂ly≮。飞殳A：图6线，垂足为Ⅳ，设f与戈轴相交于点F(一百C，0)，容易求得FG=尘L半，角a与直线z的倾斜角卢相等或互补，所以tan仅=±ta叩=干百A，所以lsinaI=l(千百A)÷√12+(干鲁)2J_击等，从而扎tGHI-IFG№in引一lAxo+Byo+C．IA1．IAxo+Byo+CIAn●10—溏j10从最简单最特殊的引理出发推导点到宣线距离公式引理坐标原点到直线1：Ax+By+C=0的距离杠器图7简证如图7，先从原点到直线的距离这一特殊情形人手，设直线Z与z轴、Y轴分别交于点E、F，则点E、F的坐标分别是(一百C，o)、(o，一百C)，由三中学数学杂志2009年第1期角形面积得：EF．h：IOE．OF得IIl--_兰型；，由平行直线系求出过点P(Xo,Yo)且与z√A‘+13‘平行的直线l’的方程：Ax+毋一Ax。一Byo=0，设直线Z和l’分别与茗轴交于点E、G，则点E(一了u，0)、G(垃导，0)，由f∥f，得蔓h=面EG．N1)Xd=面EGlIAxo+Byo+CI．ICICI啪2—]百广～÷丽‘历磊手21垒兰!±坠±竺!。隋1可j11通过平移坐标系推导点到直线距离公式如图8，如果点P(x。，Yo)是坐标原点就好了，为此，我们以点P(‰，Yo)为原点建立直角坐标系石’0～Y，并使坐标轴戈’，y’分别与坐标轴并，Y平行．设直线Z在新坐标系中记为Z’，设任意点G在新旧坐标系中的坐标分别是-y’一‘＼．ore)X’、．＼膏图8(戈’，Y7)、(髫，Y)．贝0甘gog=00’+0’G，得(菇，Y)=(戈o，Yo)+x’，Y’)，所以石=菇o+髫’，Y。Yo+Y7，所以直线￡在新坐标系中的方程是：A(x7+‰)+B(y’+Yo)+C=0，即A菇’+毋’+A菇o+Byo+C=0．点D’到直线Z’的距离就是点P(‰，Yo)到直线Z的距离，由引理可得：d=L塑与竺掣．~／A2+B212由直线与圆的位置关系推导点到直线距离公式如图9，当以点P(‰，Yo)为圆心的圆与直线l：Ax+By+C=0相切时，圆的半径就是点P(x。，Yo)到直线Z：舭+B，，+C=0的距离，于是，问题转化为当以点P(菇。，Yo)为圆心的圆与直线z只有一个交点时，求圆的半径，联立‘rP、℃夕＼i图9方程{芑二：浅Y：yo)：∥【(戈一‰)2+(一2=r2消y整理得关于髫的一元二次方程：壁素笔2+2(c+‰一菇。)戈+‰2+(百C+yo)2一r2=0，令判别式△=[2(百C+‰嘶)]2_4．竽小2+(百C
万方数据中学数学杂志2009年第1期厄毅彬髭翻缮竣钇嬲勰嬲+‰2r2]：。得：r2：!垒兰生掣，所以dIAxo+曰)，o+CI=r=一．o《々B。13用直线的参数方程推导点到直线距离公式如图10，由直线参数方程的几何意义知ltI=IPQI，(1)B>0时，过点P作直线z的垂线，垂足为Q，则直线PQ的标准参数方程为：Af一"扣万i(。为参【卜％“’刁葡}V^1-D图10数)，将直线PQ的参数方程代人直线l的方程得：A·(算。+t’：乏i等)+日·(知+r。了乏i等)+c：o，解之得点Q对应的参数￡：一尘}些，~／A2+口。同理可得PQ：鱼殳兰呈兰兰，d：IPQI：√A‘+B‘A菇o+Byo+C、j罹可j教材提到利用过已知点作直线垂线求出交点，再利用两点间距离公式求解的方法经过学生尝试，虽然运算量较大，但是这种思路最自然，我们不应轻易放弃，因为教师不应一开始上解析几何，就给学生一个“有一点运算量就懒得动手算”的示范，而解析几何正是从求准、求快、求简等方面训练学生计算能力的绝佳材料，没有繁琐运算的亲身体验，哪来“求简”的动力?我们应引导学生“穷则思变”：能否在这种思路的基础上作适当的改进?能否从不同的角度来思考这一问题?这既加强了知识间的联系，又锻练和提高了学生运用已有知识分析问题、解决问题的能力．参考文献[1]薛彬．想法是怎样形成的?[J]中学数学教学参考．所岬=一错删矧删2Ⅲ2擐007,8．燃需麓篡篇簧!麦生堑±墨丝±皇!页．北京：人民教育出版社，2004，4．。取—1。fX='第0--t"亭懒数，【垆％叫‘—丽作者简介余树林，1973年8月出生，中教一级教师，鄂州市首届优秀数学教师，鄂州市教改先进个人，辅导多名学生参加全国数学竞赛获奖，获优秀教练员称号．近几年，有十余篇论文在《中学数学杂志》、《中学数学研究》、《数学通讯》、《中学数学教学参考》等刊物发氛多篇论文获省市一等奖．向量替斜率解题免讨论江西省永丰中学331500刘忠(特级教师)直线是由一个点和一个方向确定的，而方向又可用它的倾斜角来确定．由于斜率可以直接反映于它的方程中(特别是斜截式)，所以通常用斜率来确定一条直线的方向．又由于并不是任何直线都有斜率，所以在对一些与直线斜率有关的问题的解决时就不得不分斜率存在与否进行讨论了．考虑到任何直线的方向都可由它的方向向量来确定，所以在解决一些与直线斜率有关的问题时用它的方向向量来代替斜率就可以避免繁杂的讨论，而使过程简洁明快．本文介绍利用直线的方向向量和法向量来解决一些与斜率有关的问题的方法，供大家参考．1直线的方向向量与法向量1．1直线Z：Ax+毋+C=0的方向向量若直线f经过P。(x。，Y。)，P：(菇：，，，：)，则直线f上的向量P。砭及与它平行的向量都称为直线的方向
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