点到直线的距离大庆石油高级中学教师:翟明星
.P点到直线的距离l
lP.oxy:Ax+By+C=0(x0,y0)点到直线的距离Q
POyxlQP(x0,y0)l:Ax+By+C=0问题:求点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离。法一:写出直线PQ的方程,与l联立求出点Q的坐标,然后用两点间的距离公式求得.PQ
法二:P(x0,y0),l:Ax+By+C=0,设AB≠0,OyxldQPRS
OyxldQPRS由三角形面积公式可得:A=0或B=0,此公式也成立,但当A=0或B=0时一般不用此公式计算距离.注:在使用该公式前,须将直线方程化为一般式.
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0;②3x=2的距离。解:①根据点到直线的距离公式,得②如图,直线3x=2平行于y轴,Oyxl:3x=2P(-1,2)用公式验证,结果怎样?
例2:求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。Oyxl2:2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0P(3,0)两平行线间的距离处处相等在l2上任取一点,例如P(3,0)P到l1的距离等于l1与l2的距离❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
任意两条平行直线都可以写成如下形式:l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0Oyxl2l1PQ思考:任意两条平行线的距离是多少呢?注:用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为对应相同的形式。(两平行线间的距离公式)
例3:一直线经过点P(2,3),且和两平行线3x+4y+8=0与3x+4y-7=0都相交,且交点间距离为,求直线方程.PMNl1l2T(Өl(KEY:7x+y-17=0或x-7y+19=0.)(提示:由及两平行线间的距离知,l与l1的夹角为450,利用夹角公式求得l的斜率,进一步得l的方程。)
反馈练习:()()DB
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5、求直线x-4y+6=0和8x+y-18=0与两坐标轴围成的四边形的面积.oxyx-4y+6=08x+y-18=0MNP(提示:M(,0),N(0,),直线MN方程:4x+6y-9=0,P(2,2)到直线MN的距离d=,∴S四边形OMPN=S△OMN+S△PMN=.
(1)点到直线距离公式:,(2)两平行直线间的距离:,小结:注意用该公式时应先将直线方程化为一般式;注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理为对应相等的形式。