11.4点到直线的距离一．教学内容分析“点到直线的距离”是“坐标平面上的直线”一章的最后一节内容.作为直线方程和向量方法的应用，教材中，点P（x0,y0）到直线l:Ax+By+C=0的距离公式的推导经过了以下过程：（1）作出距离PQ，（2）利用向量的数量积，根据，利用Q点在直线l上，求出PQ，得到公式.在推导过程中，有两个要点：一是应用数量积的几何意义计算两点之间的距离；二是应用“若点在直线上，则点的坐标满足直线方程”进行整体代换.应用向量的方法，运算比较简捷，在此体现了向量方法的优势.然而，解析几何的核心思想，是通过用方程表示曲线，通过研究方程的解的情况反映曲线的几何性质，所以面对“如何求点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离”这个问题，一个基本的解题思路是：写出直线PQ的方程，求出直线PQ与直线l的交点Q的坐标，最后求出|PQ|的长度.其中，解方程组，求Q点坐标是关键，有行列式知识做铺垫，这个问题应该可以迎刃而解.教材放弃这个方法，体现了教材编写者突出向量应用的思路.但向量法显得技巧性强，需要较高的数学思维能力.在选择向量的过程中，有些问题如“为什么选择向量？用向量可以算出结果吗？”等，在教学时往往一时难以清楚回答.另外，在有行列式知识背景的前提下，解方程已经变得机械而且简单，所以放弃方程，与学生的认知基础有一定的差距.但是，作为教材，也不可能就同一个问题罗列两种解法，这是一种两难的选择.这也给教师的教学设计造成了困惑，是突出方程思想，还是突出向量思想？如何处理？如何选择？才能既符合学生认知特点，又能体现新教材的特点.二．教学目标设计1．通过学习，学会推导点到直线的距离公式并掌握点到直线的距离公式.2．通过对点到直线之间公式推导方法的分析、比较与体验，领悟公式推导过程中的数学思想和思维方法，培养分析问题和解决问题的能力.
1．通过对点到直线之间的距离、平行线之间距离的探究，培养理性思维能力.经历问题解决过程，体验合作精神.一．教学重点及难点1．教学重点：点到直线距离公式及其推导过程.2．教学难点：在推导点到直线距离公式过程中，学习和领悟问题解决过程中的数学思想方法.二．教学流程设计复习引入向量的方法如何推导点到直线的距离方程的方法课堂小结并布置作业应用：推导两条平行线之间的距离
一．教学过程设计1．引入这是直线一章的最后一节，简要回顾本章知识，主要涉及三个问题：1)如何用解析法表示直线？主要介绍如何用方程表示直线，其中包括直线方程的几种形式，直线的倾斜角与斜率的关系等知识.2)如何判断点P(x,y)与直线l:ax+by+c=0的位置关系？点P(x,y)与直线l:ax+by+c=0的位置关系包括两类情况：一是点在直线上，一是点不在直线上.主要通过点P(x0,y0)的坐标是否满足直线l的方程判断.点不在直线上这类位置关系中，若进一步提出如何刻画点与直线的相对位置，自然会想到如何求点到直线的距离这类问题.3)如何判断直线与直线的位置关系？两条直线的位置关系包括三种情况：相交、平行与重合.在直线与直线相交关系中可以进一步研究两条直线的夹角问题，包括特殊情况：垂直关系；在两条直线平行时会联想到如何求平行线间的距离，进而转化为求点到直线间的距离问题.所以，进一步讨论点到直线的距离是理性思维的结果，是完善知识体系得需要.
引入中，从学生原有的知识基础出发，通过知识的逻辑结构说明为什么学习点到直线的距离，激发学生学习的兴趣，强调理性精神.1．点到直线距离公式的推导PQlxyO1）明确并提出问题已知直线l：ax+by+c=0，直线外一点P(x0,y0).其中a、b、c、x0、y0为常数.如何表示点P到直线l的距离d?在解决该问题前可以作如下铺垫：可以先回顾“什么是点到直线的距离？”从几何角度作出距离，并指出点到直线距离其实是点到直线上任意一点距离的最小值.再指出点P到直线的距离是一个确定的值，它可以用x0、y0、a、b、c表示.2）推导点到直线的距离公式通过对问题的分析，归结为“如何计算线段|PQ|的长度？”.因为推导公式的方法有许多种，所以可以充分发挥学生的主观能动性，通过有效组织，引导学生积极思维，寻找问题的解决方法.主要可能有以下几类方法.（1）计算Q点坐标.有下列两种方法：（i）利用数量积，计算Q点坐标.具体思路：设Q（x１,y１），由与直线的一个方向向量垂直及两个条件联立方程组，解得x１,y１即可.（ii）联立方程组，计算两条直线交点Q的坐标.具体思路：写出直线PQ的方程，联立PQ与l的方程，求解Q点坐标(x1,y1).（2）利用向量的数量积.因为数量积可以求向量投影的长度，，所以
，其中M是直线l上某一点.特别的，，可以归结为教材提供的方法.（3）其他方法学生还可能想到：利用三角比，利用三角形面积，勾股定理等平面几何知识，利用函数思想求点P到直线上任意一点距离的最小值等.虽然方法有许多种，但是因为解析几何的核心思想是利用方程研究曲线，所以联立方程组是基本方法；又因为向量在解析几何是一个重要的知识和方法，对学生将来进一步学习空间解析几何有帮助，所以可以选择联立方程组计算点Q坐标与利用数量积计算|PQ|长度这两种方法具体讲解.以下为两种方法解题过程：l联立方程组，利用行列式知识求解：，的方程可以写成：，所以解方程组：，得；；.所以所以.l利用向量的数量积直接求出|PQ|的长度：由直线方程，知l的法向量为=（a,b），设M(x/，y/)是直线l上的一点，得，因为，所以.
又点M在直线l上，所以ax/+by/+c=0，即ax/+by/=-c.得.对上述两种方法进行回顾总结，并给出结论：点P(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的距离.在上述两种解题方法中，都需要强调一种整体代换的思想.1．公式的应用回到本节课开头的问题：如何推导两条平行线之间的距离公式.若直线l1:ax+by+c1=0,l2:ax+by+c2=0,其中a,b,c1,c2为常数且c1≠c2.如何求直线l1与l2之间的距离？这个问题可由学生独立完成，教师引导并主要介绍两个方法：:（１）将平行线之间的距离转化为求点到直线间的距离，利用刚刚推导的点到直线距离公式.在直线l上取点，则，又，所以，所以（２）利用向量数量积，直接计算设，得，由，又，所以.2．小结与作业1)小结这节课主要研究三个问题：(1)为什么要学习点到直线之间的距离？（2）点到直线之间的距离如何推导；（3）如何求平行线之间的距离.
主要知识有点到直线之间距离公式及其推导方法与过程，平行线之间的距离公式及其推导方法与过程.强调了方程的方法与向量的思想.2)作业：练习11.4，1、2、3；习题11.4，1、3、4、5、6一．教学设计说明1．从知识的角度讲，本节课并没有新的概念，完全是利用已经掌握的知识解决问题，获得新的结论、新的知识.所以这节课一定意义上是问题解决式教学.2．因为问题解决的方法比较多，每种方法都面面俱到，这是不可能的，也是不现实的.如何选择成了教学的关键，这里我们从解析几何的核心思想与向量方法的重要程度考虑，选择这两种方法作为重点讲解的方法，同时也是对所学行列式知识与向量知识的一个很好的应用.在两种方法的讲解过程中，要重点引导学生体会整体代换的思想.3．在教学的组织形式上，考虑到方法的多样性和学生思维的积极性与创造性，可以考虑充分发挥学生的主观能动性，由学生讨论并寻找问题解决方法.在寻找方法过程中，可以要求学生只谈想法，不必算出结果，但要讲清方法的来龙去脉以及解题计划，是如何想到这个方法的？用这个方法可以算到结果吗？在应用所给方法过程中可能会遇到什么问题.具体解题过程，可以根据这些解题设想由学生课后完成.4．平行线之间距离公式的推导是对点到直线距离公式学习效果的巩固，既应用了公式，又可以利用向量的数量积.但考虑到教学时间和学生接受程度，平行线之间的距离公式可以作为思考题，留作学生课后思考，为下一节课作准备.
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