高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 教案

点到直线的距离教学目标：掌握点到直线的距离公式的推导和应用教学重点：掌握点到直线的距离公式的推导和应用教学过程：一、复习：平面内两条直线的平行、相交、重合、垂直的判定？二、推导：（以下材料谨供参考）已知点P(x0,y0),直线l:AxByC0,(A0,B0),求点P到直线l的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、（定义法）根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图1，B'''设点P到直线l的垂线为l，垂足为Q，由ll可知l的斜率为AByPl'yy0(xx0)l的方程：A与l联立方程组Ql'22Bx0ABy0ACAy0ABx0BCx(,)2222解得交点QABAB图122Bx0ABy0AC2Ay0ABx0BC22(22x0)(22y0)|PQ|ABAB22Ax0ABy0AC2By0ABx0BC2()()2222＝ABAB2222A(AxByC)B(AxByC)20000(Ax0By0C)222(AB)22＝＝AB|Ax0By0C||PQ|22AB二、（函数法）点P到直线l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。在l上取任意点Q(x,y),222|PQ|(xx0)(yy0)用两点的距离公式有AxByC0为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：2222(AB)[(xx0)(yy0)]22222222A(xx0)B(yy0)A(yy0)B(xx0)＝22[A(xx0)B(yy0)][A(yy0)B(xx0)]＝22[A(xx0)B(yy0)](Ax0By0C)(AxByC0)＝22|Ax0By0C|(xx0)(yy0)22A(yy)B(xx)0AB当且仅当00时取等号|AxByC|00d22所以最小值就是AB三、（转化法）设直线l的倾斜角为,过点P作PM∥y轴交l于M(x1,y1)x1x0yPllyP显然所以QAxCMQM0y1Bxx图2图3第1页共3页 Ax0CAx0By0C|PM||y0|||BB易得∠MPQ＝（图2）或∠MPQ＝180（图3）21|B|22AcosMPQtgMPQtg22221tgAB在两种情况下都有B所以Ax0By0C|B||Ax0By0C||PQ||PM|cosMPQ||B2222ABABylxl四、（三角形法）过点P作PM∥轴，交于M，过点P作PN∥轴，交于N（图4）Ax0By0CyPN|PM|||由解法三知BQMAx0By0Cx|PN|||l同理得A图4在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高|PM||PN||Ax0By0C||PQ|2222|PM||PN|ABxx0tcosl':五、（参数方程法）过点P(x0,y0)作直线yy0tsin交直线l于点Q。(图1)|t|l'l由直线参数方程的几何意义知＝|PQ|，将代入得Ax0AtcosBy0BtsinC0Ax0By0C|t|||整理后得AcosBsin┄┄┄①当l'l时，我们讨论与l的倾斜角的关系：A(tg0当为锐角时B不妨设A0,B0)有90（图2）A|B|tgBAcossin222221tgABAB1|B|Bsincos222221tgABABA(tg0当为钝角时B不妨设A0,B0)有90（图3）得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得三、求点P0（－1,2）到下列直线的距离。（1）2x+y－10=0（2）3x=2例2求两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2＝0间的距离。例3求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。例4、已知一直线l被两平行线3x+4y-7=0和3x+4y＋8=0所截线段长为32，且l过点（2,3），求直线l的方程。课堂练习：第98页A,B小结：两条直线垂直的判定第2页共3页 课后作业：第99页习题2-2A:17、18、19第3页共3页