高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 教案

点到直线的距离教学目标：掌握点到直线的距离公式的推导和应用教学重点：掌握点到直线的距离公式的推导和应用教学过程：一、复习：平面内两条直线的平行、相交、重合、垂直的判定？二、推导：（以下材料谨供参考）已知点P(x0,y0),直线l:AxByC0,(A0,B0),求点P到直线l的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、（定义法）根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图1，B设点P到直线l的垂线为l'，垂足为Q，由l'l可知l'的斜率为AyBx0)与l联立方程组Pll'的方程：yy0A(xQl'B2x0A2y0(ABy0ACABx0BCxA2B2,A2B2)解得交点Q图1B2x0ABy0ACA2y0ABx0BC22|PQ|2(A2B2x0)(A2B2y0)(A2x0ABy0AC)2(B2y0ABx0BC)2＝A2B2A2B2A2(Ax0By0C)2B2(Ax0By0C)2(Ax0By0C)2＝(A2B2)2＝A2B2|Ax0By0C||PQ|A2B2二、（函数法）点P到直线l上任意一点的距离的最小值就是点P到直线l的距离。在l上取任意点Q(x,y),用两点的距离公式有|PQ|2(xx0)2(yy0)2为了利用条件AxByC0上式变形一下，配凑系数处理得：(A2B2)[(xx0)2(yy0)2]＝A2(xx0)2B2(yy0)2A2(yy0)2B2(xx0)2＝[A(xx0)B(yy0)]2[A(yy0)B(xx0)]2[A(xx0)B(yy0)]2＝(Ax0By0C)2(AxByC0)(xx0)2(yd所以最小值就是三、（转化法）设直线显然x1x0所以Ax0Cy1By0)2|Ax0By0C|x0)0时取等号A2B2当且仅当A(yy0)B(x|Ax0By0C|A2B2l的倾斜角为,过点P作PM∥y轴交l于M(x1,y1)yPllyPQQMMxx图2图3第1页共3页 |PM||y0Ax0CAx0By0C|B||B易得∠MPQ＝（图2）或∠MPQ＝180（图3）tg2MPQtg2A2cosMPQ1|B|B21tg2A2B2在两种情况下都有所以|PQ||PM|cosMPQAx0By0C|B||Ax0By0C||B|A2B2A2B2四、（三角形法）过点P作PM∥y轴，交l于M，过点P作PN∥x轴，交l于N（图4）|PM|Ax0By0C|yPN|BQ由解法三知Ax0By0CMx|PN|l|A|同理得图4在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高|PM||PN||Ax0By0C||PQ||PN|2A2B2|PM|2xx0tcos五、（参数方程法）过点P(x0,y0)作直线l':yy0tsin交直线l于点Q。(图1)由直线参数方程的几何意义知|t|＝|PQ|，将l'代入l得Ax0AtcosBy0BtsinC0|t|Ax0By0C||Bsin整理后得Acos┄┄┄①当l'l时，我们讨论与l的倾斜角的关系：(tgA00)有B90当为锐角时不妨设A0,B（图2）tgA|B|AcossinB1tg2A2B2A2B2sincos1|B|B1tg2A2B2A2B2(tgA0B0,B0)有90（图3）当为钝角时不妨设A得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得三、求点P0（－1,2）到下列直线的距离。（1）2x+y－10=0（2）3x=2例2求两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2＝0间的距离。例3求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。例4、已知一直线l被两平行线3x+4y-7=0和3x+4y＋8=0所截线段长为32，且l过点（2,3），求直线l的方程。课堂练习：第98页A,B小结：两条直线垂直的判定第2页共3页 课后作业：第99页习题2-2A:17、18、19第3页共3页