7.3.4点到直线的距离教学设计南宁市第四中学蒋茂坤一、教学目的：⑴知识与技能：理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；会用公式解决点到直线的距离和两平行直线的距离；⑵能力和方法：培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般、数形结合的思想方法．⑶情感和价值：认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题；由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律．二、教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用三、教学难点：点到直线的距离公式的推导四．教学过程引入回顾复习1、以学生熟知的一个具体实例：当房子起火时，房子的不远处有一条小河，怎样选择最近的路线取水？让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，引发学习研究兴趣．2、引导学生回顾以前学过的计算线段的方法和两点间的距离公式？让学生再次明确点到直线的距离的概念;探究思考探究一（1）点分别到轴、轴的距离是多少？（2）点分别到直线和的距离是多少？通过计算特殊的点到直线的距离，引导学生从解决特例当中发现过程并从中体验到研究和解决一般问题的方式方法。探究二如何求点到直线的距离？教师：请同学们作出图象后，思考有哪些计算方法，结果是什么？···学生：过点作的垂线，垂足为，垂线段的长度就是点到直线的距离．点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．教师：作图后，结合图象，分组讨论怎样计算．能够用多少种方法计算出点P到直线l的距离？（由于前面复习了点到直线的距离的定义和两点之间的距离公式，所以学生容易想到利用定义解决问题）方法①：利用定义学生：：利用定义解决问题．因为与l垂直，则与l的斜率乘积等于-1，可以算出的斜率，从而可以得出直线由于教材上对于点到直线的距离公式的证明比较抽象，所以补充了两个由浅人深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫．5
的方程，联立和l的方程就可以求出它们的交点的坐标，再利用两点之间的距离公式就可以计算出的长度，即点到直线的距离。解：过点作的垂线，设垂足为方法② 利用直角三角形的面积公式学生：利用三角形面积公式．因为直线l与x轴、y轴都相交，设交点分别为S和R，则中利用面积公式就可得到：就可以把计算出来.解：(略)方法③ 利用三角函数···R学生：由于点和直线的位置很特殊，可以利用三角函数来解决．设直线l的倾斜角为，在中，，而，所以容易求出来，从而可以求得.解：(略)探究三如何求点到直线的距离？··（类比探究二的三种解法，让学生独立思考探究三．课堂上，只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程．教师可根据情况利用课件演示某种方法的步骤）探究四如何求点到直线的距离（）？教师：①你能否类比探究二、三来解决本问题吗？你的思路是怎样的？②对于的特殊情况，你可以怎样处理？让学生分组讨论然后回答：补充的探究二，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，教师要鼓励学生利用多种方法解决探究二．类比探究二，让学生独立思考探究三的解法．课堂上只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程．5
方法①利用定义的算法思路得到点到的距离确定直线的斜率求过点垂直于的直线的方程求与垂直的直线的斜率求与的交点求点与点的距离方法②利用直角三角形的面积公式的算法思路教师：如果类比探究二、三，通过面积构造法来计算，你应该如何添作辅助线？解题思路是什么？在点到直线的距离公式的推导过程中，渗透算法的思想对于方法①，教材上只说明了算法步骤，而省略了繁琐的证明过程，所以只要求学生理清算法思路、给出框图，不要求证明过程．对于方法②，引导学生理清算法思路，再根据算法框图，指导学生自学教材的证明过程，培养学生的数学阅读能力和获取信息的能力．5
借助多媒体和学生一起完成方法②的步骤得出点到直线的距离公式：点到直线的距离（其中不同时为0）教师：你能否利用点到直线的距离公式解决探究一、二、三？并比较计算结果．点到直线的距离公式的应用练习：求下列点到直线的距离例：求平行线和的距离．教师：这两条平行直线间的距离是否是固定的？如何求这两条平行直线间的距离？学生：两条平行直线间的距离处处相等；将两平行直线之间的距离转化为一直线上一点到另一条直线的距离；教师：可以选择哪个点？学生：选择与轴的交点点．解：在直线上任取一点，例如则到直线的距离就是两平行线间的距离．因此教师：是否可以在直线上取一般的点来求距离？(要求学生课后自主探究推广到一般结论：两平行直线的距离公式)练习主要是通过直接将已知点的坐标代人公式计算，强调公式的形式记忆．采用了类比化归的思想方法，课堂小结教师引导学生归纳：(1)总结本节课所学习的主要内容．点到直线的距离公式：说明：对于的特殊情况时公式仍然适用．(2)本节课所用的数学思想与方法(类比、转化、从特殊到一般；数形结合等等)；多角度考虑问题，一题多解．(3)点到直线距离公式的应用；(4)课后探究两平行直线的距离公式。课后作业教材13、14、165
教学设计说明：本节课我依据教学大纲、考试大纲的要求、新课标的特点、所教学生的实际情况，分：“提出问题——解决问题——公式应用——课堂小结——布置作业”五个环节来完成。首先多媒体显示实例，引发学生的学习的兴趣和求知欲望，从而引出数学问题。通过一系列问题引导学生通过图形观察，进而分析、归纳总结选择较好的方法具体实施。由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象．如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路势必会缺乏连贯性，所以本课重点从特殊到一般，分析了学生能够想到的算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形的面积公式的算法、利用三角函数的算法．让学生在明晰算法步骤的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读。我选择练习、例题目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式，主要通过学生口答完成。探究例题的选取来自课本，但是课本只有一种特殊点的解法。我把本例题进行挖掘，引导学生多角度考虑问题。在整个过程中让学生注意体会解题方法中的灵活性。本节课小结主要由学生总结，教师补充，尤其数学思想方法教师加以解释。在整节课的处理中，采取的知识、方法来源于课本，在此基础挖掘其深度、广度。5
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