两条直线的位置关系与点到直线的距离1
走进高考第一关 基础关2
教材回归1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔________.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为________．k1＝k2平行3
(2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2的斜率存在，分别设为k1，k2，则l1⊥l2⇔____________.一般地： 若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)， 则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且____________(或_____________________)．k1·k2＝－1A1C2－A2C1≠0B1C2－B2C1≠04
l1⊥l2⇔____________________，l1与l2重合⇔______________________且A1C2－A2C1＝0(或B1C2－B2C1＝0)．A1A2＋B1B2＝0A1B2－A2B1＝05
2．三种距离(1)两点间的距离 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝__________________.特别地，原点(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝________.6
(2)点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________________. (3)两条平行线的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝_____________________.7
考点陪练8
1.已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a等于() A．2B．1 C．0D．－1答案：D解析：由a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.9
2．已知两直线l1：x＋ysinθ－1＝0，l2：2xsinθ＋y＋1＝0，若l1∥l2，则θ＝________________.10
3．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为() A．x＋2y－5＝0B．3x＋y－4＝0 C．x＋3y－7＝0D．3x＋y－5＝0答案：A11
4．已知P1(x1，y1)是直线l：f(x，y)＝0上的一点，P2(x2，y2)是直线l外一点，由方程f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0表示的直线与直线l的位置关系是() A．互相重合B．互相平行C．互相垂直D．互相斜交答案：B12
5．将直线l：x＋2y－1＝0向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到直线l′，则直线l与l′的距离为()答案：B13
解读高考第二关 热点关14
类型一：两条直线位置关系的判定和应用解题准备：判断两条直线平行或垂直时，往往从两条直线斜率间的关系入手加以判断，当直线方程中含有字母系数时，要考虑斜率不存在的特殊情况．判断两直线垂直时，若用l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0可不用分类讨论，但在两直线平行的判断中，既要看斜率，又要看截距．15
典例1已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1⊥l2时，求a的值．16
分析：可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系来判断求解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进行分类讨论；也可以运用一般式方程中的关系来判断或求解，这样可以避免讨论．17
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[评析](1)直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，“l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2”的前提条件是l1，l2的斜率都存在，若不能确定斜率的存在性，应对其进行分类讨论：当l1，l2中有一条存在斜率，而另一条不存在斜率时，l1与l2不平行；当l1，l2的斜率都不存在(l1与l2不重合)时，l1∥l2；当l1，l2均有斜率且k1＝k2，b1≠b2时，有l1∥l2.为避免分类的讨论，可采用直线方程的一般式，利用一般式方程中的“系数关系”的形式来判断两直线是否平行，如本例方法二．21
(2)当l1⊥l2时，可分斜率不存在与斜率存在，且k1·k2＝－1解决问题，如果利用A1A2＋B1B2＝0可避免分类讨论．22
类型二：距离问题23
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典例2两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．26
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[探究1]当m取何值时，直线l1：5x－2y＋3m(3m＋1)＝0与l2：2x＋6y－3m(9m＋20)＝0的交点到直线l3：4x－3y－12＝0的距离最短？这个最短距离是多少？32
[分析]求出l1与l2的交点坐标，再求交点到l3的距离表达式，然后结合函数性质求最值．33
[评析]注意函数思想求最值． 类型三：交点及直线系问题 解题准备：符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系方程有如下几种：(1)过定点M(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(这个直线系方程中未包括直线x＝x0)．34
(2)和直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)．(3)和直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0. (4)经过两相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C)＝0(这个直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．35
典例3求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[分析]本题可先求出交点坐标，然后由直线间的位置关系求得；也可由直线系方程，根据直线间位置关系求得：36
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[评析]对直线系方程的形式不熟悉或不能正确运用直线系方程，是出错的原因之一． 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是：Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．40
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.41
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(2)在对称问题中，点关于点的对称是中心对称中最基本的，处理这类问题主要抓住：已知点与对称点连成线段的中点为对称中心；点关于直线对称是轴对称中最基本的，处理这类问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．43
典例4光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．分析：本题用光学原理得入射光线与反射光线关于直线l对称，用对称点方法求出入射点上一点P关于l的对称点，再由两点式写出方程．44
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[评析]比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转化为点关于直线的对称或关于点的对称问题来解决的；其中方法一通过求点关于直线的对称点坐标，用两点式方程求解，方法二则利用了轨迹思想求对称直线的方程，是求解曲线关于直线对称问题的通法．48
[探究2]已知直线：x－y＋3＝0，一光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上一点C，最后又从C点反射回A点．(1)试判断由此得到的△ABC是有限个还是无限个？(2)依你的判断，认为是无限个时求出所有这样△ABC的面积中的最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC的方程．49
[分析]利用光学原理及点关于直线的对称，借助两直线的交点问题，求解相关结论．50
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笑对高考第三关 成熟关55
名师纠错56
误区一：忽视斜率不存在致误57
[剖析]本题常常出现的错误是，只考虑到直线斜率存在的情况，而忽略了直线斜率不存在的特殊情况，即忽略了a＝0的情况．58
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[评析]在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2来求解，则要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．如果忽略k1，k2不存在的情况，就会导致错解．这类问题也可以利用如下的结论求解，即直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0，这样任何条件的实数值就都有意义了，在求出具体数值后代入检验，看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案．61
对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况．利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1时，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．利用直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0，就可以避免讨论．62
变式：已知三点P(1,2)，Q(2,1)，R(3,2)，过原点作一直线，使得P，Q，R到此直线的距离的平方和最小，求此直线方程．63
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误区二：缺乏分类意识 典例2求过直线4x－2y－1＝0与直线x－2y＋5＝0的交点且与两点A(0,8)，B(4,0)距离相等的直线l的方程．66
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[剖析]错解缺乏分类讨论的意识，对直线的位置关系考虑不全，事实上当直线l经过AB的中点时也满足条件．68
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误区三：忽视隐含条件典例3如果直线(m＋2)x＋(m2＋3m＋2)y＝m＋2与y轴平行，求m的值．[错解]因为直线(m＋2)x＋(m2＋3m＋2)y＝m＋2与y轴平行，所以m2＋3m＋2＝0.解得m＝－1或m＝－2.所以当m＝－1或m＝－2时直线与y轴平行．70
[剖析]方程Ax＋By＋C＝0表示直线，其中隐含着A·B≠0这一条件．当m＝－2时，直线方程(m＋2)x＋(m2＋3m＋2)y＝m＋2为0·x＋0·y＝0，它不表示直线，所以出现错误．[正解]因为直线(m＋2)x＋(m2＋3m＋2)y＝m＋2与y轴平行，所以m2＋3m＋2＝0，且m＋2≠0，解得m＝－1，所以当m＝－1时直线与y轴平行.71
解题策略72
熟练掌握对称的含义和求解类问题的方法和步骤1．首先要弄清对称的含义与分类：(1)对称点： 两点A、B关于点M对称⇔M为线段AB的中点(也称对称中心)； 两点A、B关于直线l对称⇔l是线段AB的垂直平分线(也称对称轴)．73
(2)对称曲线．(ⅰ)两曲线c1、c2(在本专题中主要指直线l1、l2)关于直线l(或点M)对称⇔c1上任一点P关于直线l(或点M)的对称点都在c2上，反之亦然；(ⅱ)曲线c自身关于直线l(或点M)对称⇔c上任一点关于直线l(或点M)的对称点仍在曲线c上．(3)分类：(ⅰ)中心(点)对称或轴(直线)对称；(ⅱ)两个图形间的对称或一个图形的自身对称．74
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注意：求对称点的步骤是：①设点；②列式；③求解(主要是解方程组)．(2)对称曲线的求法： 问题：已知曲线c：f(x，y)＝0，求曲线c关于某直线l(或点M)的对称曲线c′的方程．76
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f(x′，y′)＝0即f(u(x，y)，v(x，y))＝0.再化简即得c′的方程．由上知求对称曲线的步骤是：①在待求曲线上取(设)点；②求对称点(在原已知曲线上)；③代入化简． 上述求解方法就是重要的相关点法，其实质仍为点对称问题．78
3．特别注意如下与对称有关的结论：(1)直线Ax＋By＋C＝0关于： ①x轴对称的直线方程为Ax－By＋C＝0； ②y轴对称的直线方程为－Ax＋By＋C＝0； ③原点对称的直线方程为－Ax－By＋C＝0；79
④y＝x直线对称的直线方程为Ay＋Bx＋C＝0； ⑤y＝－x直线对称的直线方程为－Ay－Bx＋C＝0； ⑥直线x＋y＋C1＝0对称的直线方程为A(－y－C1)＋B(－x－C1)＋C＝0；80
⑦直线x－y＋C1＝0对称的直线方程为A(y－C1)＋B(x＋C1)＋C＝0； ⑧直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0； ⑨直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0.81
(2)设a、b，l是三条直线，且a、b关于l对称． ①若a与b相交，则l是a、b交角的平分线；若a与l平行，则b与l平行，且a、b与l的距离相等． ②若点A在直线a上，则A点关于l的对称点B一定在直线b上，并且直线AB⊥l，线段AB的中点在l上． ③设P(x，y)是直线b上一点，则P关于l的对称点P′的坐标适合a的方程.82
快速解题83
典例求点P(5,1)到直线l：(λ＋2)x－(λ＋1)y＋λ＝0的最大距离．[解题切入及分析]代入点到直线的距离公式并求其最大值．84
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[方法与技巧]详解的思路是自然的，但计算量太大，数字也太大．快解是找出动直线所过的定点，只需要两定点的距离即可．[得分主要步骤]先求得d的表达式，再求d2.利用判别式法求函数的值域，得到关于λ的一元二次方程，正确求得判别式，解不等式即可．[易丢分原因]由于数字较大，计算过程中很容易算错，尤其是求判别式时要十分小心，其实求得最终结果数字并不大.87
教师备选88
1.数形结合典例1已知△ABC中，A点坐标为(1,3)，AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．分析：画出草图帮助思考，欲求各边所在直线的方程，只需求出三角形顶点B、C的坐标．B点应满足的两个条件是：①B在直线y－1＝0上； ②BA的中点D在直线x－2y＋1＝0上．89
由①可设点B的坐标为(xB,1)，进而再由②确定xB，依照同样的方法可以确定顶点C的坐标，故△ABC各边所在的直线方程可求．90
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[评析]依据已知条件求平面图形中某些直线的方程，必须“数形结合”．通过数形结合，特别是借助平面图形分析出隐含条件，这样可以达到化难为易、化繁为简的目的，以形助数也是平面解析几何中常用的方法．93
2．对称问题的解法(1)点关于直线对称典例2已知直线l：3x－y＋3＝0，求点P(4,5)关于直线l的对称点．[分析]利用对称性质列有关对称点坐标的方程组进而求解．94
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[评析]方法1的应用最为广泛，其关键是利用“垂直”、“平分”． 点P(a，b)关于特殊直线的对称点列表如下：特殊直线x轴y轴x＝m对称点(a，－b)(－a，b)(2m－a，b)特殊直线y＝my＝xy＝－x对称点(a,2m－b)(b，a)(－b，－a)(2)直线关于点对称97
典例3求直线l1：2x－y＋1＝0关于点P(2,1)的对称直线l2的方程．[分析]利用好中心对称的性质是解对称问题的关键．98
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[评析]方法1是利用线线平行及点到两直线距离相等来解；方法2是设动点，运用“代入法”求解，这也是求曲线方程的一般方法． 一般地，直线Ax＋By＋C＝0关于点(a，b)对称的直线方程为A(2a－x)＋B(2b－y)＋C＝0.(3)直线关于直线对称101
典例4求直线a：x－y－2＝0关于直线l：x＋2y＋1＝0对称的直线b的方程．[分析]直线关于直线对称的关键仍是点关于直线对称．102
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[评析](1)三种方法都是常用方法，都用到了几何性质．方法1利用转化求解(线关于线对称转化为点关于线对称)；方法2抓住了P与P′是一对“相关点”，利用“相关点”的性质求出动点的轨迹，这是求曲线关于直线对称方程的常用方法：方法3利用点到直线的距离解题，方法非常简捷，充分体现了利用几何性质的优越性．106
(2)特别地，设直线l：Ax＋By＋C＝0，则有： 直线l关于x轴对称的直线方程为：Ax－By＋C＝0； 直线l关于y轴对称的直线方程为：－Ax＋By＋C＝0； 直线l关于y＝x对称的直线方程为：Bx＋Ay＋C＝0； 直线l关于y＝－x对称的直线方程为：－Bx－Ay＋C＝0.107
课时作业五十五两条直线的位置关系与点到直线的距离108
一、选择题1．(基础题，易)下列命题中： ①两条直线互相平行等价于它们的斜率相等而截距不等； ②方程(2x＋y－3)＋λ(x－y＋2)＝0(λ为常数)表示经过两直线2x＋y－3＝0与x－y＋2＝0交点的所有直线；109
③过点M(x0，y0)，且与直线ax＋bx＋c＝0(ab≠0)平行的直线的方程是a(x－x0)＋b(y－y0)＝0； ④两条平行直线3x－2y＋5＝0与6x－4y＋8＝0间的距离是d＝.其中不正确的命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：D110
解析：当斜率不存在时①不正确； 方程(2x＋y－3)＋λ(x－y＋2)＝0不表示过交点的直线x－y＋2＝0， 所以②不正确； 若M(x0，y0)在直线ax＋by＋c＝0上，则c＝－ax0－by0， 此时方程a(x－x0)＋b(y－y0)＝0将会重合于直线ax＋by＋c＝0， 所以③也不正确；只有④正确．111
2．(基础题，易)若三条直线x－2y＋3＝0,3x＋4y－21＝0,2x＋3y－k＝0交于一点，则k的值等于() A．13B．14 C．15D．16答案：C112
3．(基础题，易)已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝x对称，直线l3⊥l2，则l2的斜率为() A.B．－C．－2D．2答案：C113
4．(基础题，易)若y＝a|x|的图象与直线y＝x＋a(a>0)有两个不同交点，则a的取值范围是() A．00且a≠1 D．a＝1答案：B解析：如图，要使y＝a|x|的图象与直线y＝x＋a(a>0)有两个不同的交点，则a>1.114
5．(基础题，易)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是() ①y＝x＋1；②y＝2；③y＝x；④y＝2x＋1. A．①③B．①②C．②③D．③④答案：C115
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答案：D118
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二、填空题7．(能力题，中)若直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过点Q1(a1，b1)、Q2(a2，b2)的直线方程为________________．2x＋3y＋1＝0解析：由点P在两直线上可得：2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，这表明点(a1，b1)、(a2，b2)均在直线2x＋3y＋1＝0上，而过这两点的直线只有一条． ∴过点Q1(a1，b1)、Q2(a2，b2)的直线方程为2x＋3y＋1＝0.120
8．(2010·江苏南通第二次调研)(能力题，中)过点P(1,2)的直线l与两点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等，则直线l的方程为_______________________________．3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0121
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9．(2010·广州)(基础题，易)点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．8123
三、解答题10．(基础题，易)(1)是否存在直线l1：(m2＋4m－5)x＋(4m2－4m)y＝8m与直线l2：x－y＝1平行？若存在，求出直线l1的方程，若不存在，说明理由．(2)若直线l3：(a＋2)x＋(2－a)y＝1与直线l4：(a－2)x＋(3a－4)y＝2互相垂直，求出两直线l3与l4的方程．分析：先求参数，有解则写出方程，并注意分类讨论．124
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评析：(1)两直线的斜率相等，两直线并不一定平行，只有当它们的纵截距不相等时，两直线才平行．(2)若两直线斜率的乘积为－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，两直线也垂直．127
11．(能力题，中)在直线l：3x－y－1＝0上求一点，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．128
分析：设B关于l的对称点为B′，AB′与l的交点P满足(1)；C关于l的对称点为C′，AC′与l的交点Q(2)．事实上，对(1)，若P′是l上异于P的点，则|P′A|－|P′B|＝|P′A|－|P′B′||AC′|＝|QA|＋|QC|.129
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评析：(1)在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之和最小． ①当两定点A、B在直线l的异侧时，由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和都大于第三边可知，点P为AB连线与l的交点；点P到两定点距离之和的最小值为|AB|的长度，如图(1)．|P′A|＋|P′B|≥|AB|＝|PA|＋|PB|.当且仅当A、B、P三点共线时等号成立．133
②当两定点A、B在直线l的同侧时，作点A关于直线l的对称点A′.连结A′B交直线l于点P，则点P到两定点A、B的距离之和最小．134
(2)在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之差的绝对值最大． ①当两定点A、B在直线l的同侧时(AB连线与l不平行)，连结A、B两点所在的直线，交直线l于点P.如图(2)，在l上任意一点P′，则有||P′B|－|P′A||≤|AB|＝|PB|－|PA|.当P′与P两点重合时，等号成立，最大的值为|AB|.135
②当两定点A、B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A′连结A′B，交l于点P，如图(3)可知，||PB|－|PA′||＝|A′B|时，达到最大． ∵||P′B|－|P′A′||≤|A′B|， ∴当P′与P点重合时，等号成立，最大值为|A′B|.136
12．(综合题，中)已知三条直线，直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是. (1)求a的值；(2)求l3到l1的角θ；(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是.若能，求P点坐标；若不能，说明理由．137
分析：利用两平行直线间的距离公式、点到直线的距离公式、两直线所成角的概念以及解方程组等基础知识．138
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评析：求解本题的必需工具是三个公式：平行直线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式和点到直线的距离公式．其中第(3)问应解一个由①、②、③联立起来的方程组．142
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