高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案
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高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

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时间:2022-08-25

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资料简介
点到直线的距离公式的七种推导方法已知点直线求点P到直线的距离。(因为特殊直线很容易求距离,这里只讨论一般直线)一、定义法证:根据定义,点P到直线的距离是点P到直线的垂线段的长,如图1,设点P到直线的垂线为,垂足为Q,由可知的斜率为的方程:与联立方程组解得交点二、函数法证:点P到直线上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。在上取任意点用两点的距离公式有,为了利用条件上式变形一下,配凑系数处理得:当且仅当时取等号所以最小值就是三、不等式法证:点P到直线上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式:当且仅当时取等号所以最小值就是 四、转化法证:设直线的倾斜角为过点P作PM∥轴交于M显然所以易得∠MPQ=(图2)或∠MPQ=(图3)在两种情况下都有所以五、三角形法证:P作PM∥轴交于M,过点P作PN∥轴交于N(图4)由解法三知;同理得在Rt△MPN中,PQ是斜边上的高六、参数方程法证:过点作直线交直线于点Q。(如图1)由直线参数方程的几何意义知,将代入得整理后得当时,我们讨论与的倾斜角的关系:当为锐角时()有(图2)当为钝角时()有(图3)得到的结果和上述形式相同,将此结果代入①得图五 七、向量法证:如图五,设直线的一个法向量,Q直线上任意一点,则。从而点P到直线的距离为:附:方案一:设点P到直线的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ⊥可知,直线PQ的斜率为(A≠0),根据点斜式写出直线PQ的方程,并由与PQ的方程求出点Q的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点P到直线的距离为d方案二:设A≠0,B≠0,这时与轴、轴都相交,过点P作轴的平行线,交于点;作轴的平行线,交于点,由得.所以,|PR|=||=|PS|=||=|RS|=×||由三角形面积公式可知:·|RS|=|PR|·|PS|所以可证明,当A=0时仍适用

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