高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

点到直线的距离公式的七种推导方法已知点直线求点P到直线的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、定义法证：根据定义，点P到直线的距离是点P到直线的垂线段的长，如图1，设点P到直线的垂线为，垂足为Q，由可知的斜率为的方程：与联立方程组解得交点二、函数法证：点P到直线上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。在上取任意点用两点的距离公式有，为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：当且仅当时取等号所以最小值就是三、不等式法证：点P到直线上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式：当且仅当时取等号所以最小值就是 四、转化法证：设直线的倾斜角为过点P作PM∥轴交于M显然所以易得∠MPQ＝（图2）或∠MPQ＝（图3）在两种情况下都有所以五、三角形法证：P作PM∥轴交于M，过点P作PN∥轴交于N（图4）由解法三知；同理得在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高六、参数方程法证：过点作直线交直线于点Q。(如图1)由直线参数方程的几何意义知，将代入得整理后得当时，我们讨论与的倾斜角的关系：当为锐角时（）有（图2）当为钝角时（）有（图3）得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得图五 七、向量法证：如图五，设直线的一个法向量，Q直线上任意一点，则。从而点P到直线的距离为：附：方案一：设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，由得.所以，｜PＲ｜＝｜｜＝｜PS｜＝｜｜＝｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜所以可证明，当A=0时仍适用