“点到直线的距离公式”的认知分析和教学设计“点到直线的距离公式”是解析几何中的重要公式，这个内容的认知过程分析以及由此而进行的教学设计，可以成为数学教师日常教学工作的一个范例・（-）认知分析1.涉及的陈述性知识（1）关于“点”:坐标Po%Jo）直角坐标系;（2）关于“直线”：直线方程（各种变式）;（3）关于“距离”：距离的定义；垂足一一交点一一垂线（点斜式）相互垂直的两条直线的斜率关系.2.涉及的程序性知识（1）直角坐标系的选择;（2）直线方程的选择；（3）距离的定义方法（“最短”），属数学思想方法，但可以自动化；（4）垂线方程表示方式的选择;(5)“转化”的策略;上述程序性知识中，“选择”一般具有策略性知识的特性，要根据具体情景来作出决策.但总的来说，“把选择的机会让给学生”而不是“告诉学生如何选择”，是策略性知识教学的一个基本原则，教师只要追问“你是怎么想到的？”
“还可以怎么做？”即可。1.认知过程分析（1）常规思路.基于点到直线的距离定义所给定的几何要素，利用“垂MV线”求交点，再用两点间的距离公式（“转化”的策略）.于是，先求“垂线”，自然想到用“相互垂直的两条直线的斜率关系”求出斜率，再用“点斜式”写出直线方程，再解方程组获得交点坐标.这一思路的特点：自然，思想方法“大众化”，很少涉及策略性知识，可以程序化，但解方程组的操作过程复杂，需要熟练的代数变形技能.有人认为，由于这个思路大家都能够想到，没有什么“创造性”，因此教学中不需要强调.我认为，这一看法有偏蕴含的智力价值应当引起重视・另外，方法的“繁”与“简”是可以相互转化的，而且，“简”是从“繁”中演化出来的.从知识之间的关系看，这个思路中所涉及的知识，与“点到直线的距离”的联系比较直接，因此它们的提取和应用都非常方便，这也是它比较容易被想到的原因.（2）由“求简”所引发的思考个新的认知过程.由于上述方法比较“繁”，因此应当考虑如何“求简”.实际上，“求简”的过程是对问题及其解决方法的进一步探究,涉及对问题中各种因素之间关系、相关概念之间的联系方式
的进一步认识・这是一个搞清问题的整体结构，寻找不同概念之间联系的最简捷通道的过程.从下面的分析不难看到，不同求解方法的实质是知识的不同联系方式.不同思惟倾向的学生，可能采取不同的“求简”策略，而能否“想到新方法汀的决定性因素是对相关概念及其蕴含的思想方法的熟悉程度.①代数运算过程的简化一一从反思已有过程入手.由于已有解法的代数变形过程较繁，因此考虑是否能简化运算过程.从整个变形过程看，其中有许多“无用功”,原因是整个运算过程非常机械，没有做到“瞻前顾后”.考察已有运算过程可以发现，分别从整体上考虑(Xx-Xo),5-Jo).可以得到以下简化思路:设叽力)是垂足，则有:Ax}+By、+C=0,B州一A)\+Ay0-Bx0=0,于是有:_X])+B(y()-y)=Ax()+By。+C,一xj—心o-y)=0.再推导“距离公式”就比较容易了・在上述过程中，通过分析已有运算过程，接通的是“垂足”的意义(作为两条直线的交点)与距离的表达式心血-叮+伉-汀之间的联系，而采取的策略是“整体化”.由上述分析可见，要实现代数变形的“简化”，关键是要引导学生“接通”垂足的意义与距离表达式，而所用的策略是“整体化”（通常人们将它称为“设而不求”）.这就是教学设计中应重点考虑的地方.显然，教师应引导学生思考引起繁琐代数变形的原因，通过反思变形过程，从中获得“简化”的启发，
并在垂足的意义与距离表达式之间架设思惟桥梁，从而使学生体验到“整体化”思想.这里，“整体化”、“设而不求”是一种策略，属于“术”的范畴，但要注意它的来源一一感到化简过程繁琐，“求简”而反思解题过程，发现引起繁琐的原因而得到消除繁琐的策略.如果没有这个反思过程，就可能出现强加给学生一个“设而不求”技巧的做法.②几何角度的考虑一一从最简情形入手（这也是一种策略）.显然，最简单的是直线与坐标轴平行时的情形:P(兀0?0)’/:Ax+C=O(AhO)‘]=p（x（），儿）丿：By+C=0（Bh0），x=—=b'o-yj=°・£>D对于一般情形，如何利用"最简”情形？也就是如何将“一般”化归为“最简”（特殊）？如图L过P（X0,咖作平行于兀轴或丿轴的直线，经考察可以发现，通过作兀轴的平行线而实现的转化比较简单:
BC0t（7=——，A.1|A|sina='t,x（）—x}71+cot2aA2+B2Xa/a2+B2=xo~|心）+By（）+CVa2+b2在转化过程中，需要有“数形结合”的思想，用到了“特般”的策略，还要根据具体情况对问题解决的途径作出选择.另外，需要接通距离的不同表示：作为直角三角形的一条直角边，与三角函数建立联系，等.教科书提供的方法是利用同一直角三角形面积的不同表示，把所求的“距离”看成是直角三角形底边上的高，利用直角三角形的三边长表示出距离・实际上，这里，包含有一般的程序性知识（一种转化的思想，用己知表示未知的思想）.由上所述，从几何角度考虑，要实现“简化”，主要是利用平行于坐标轴的线段长来表示点到直线的距离，通过特殊与一般之间的关系实现转化，而在转化过程中又要接通三角函数的有关知识，使距离的表示更加简单.这样，在进行教学设计时，教师应当利用“数形结合”思想，在如何用相关元素表示“距离”上进行引导，并在接通三角函数的有关知识上加以点拨.当然，还可以有其他转化的方法，例如“向量法”“求函数最小值法”“面积法”等，这里不一一赘述.（-）教学设计（问题系列引导的数学探究）问题1“点到直线的距离”的定义是什么？从这一定
义出发，你认为应如何求“点到直线的距离公式”？设计意图：体现“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的思路；强调从定义出发思考问题.估计学生能够从定义出发，得到：设已知点为Po（e为）,已知直线为/：Ax+By+C=0,过点P。且垂直于直线/的直线方程为/：y—为=弓（兀一心）.解方程组：AAx+By+C=0,可得交点坐标为Pi（xp力）・于是有点Po（兀0，儿）到直线？的距离为d=|P]Po|=d=J&0-k）2+（儿-■问题2上述思路非常自然.请大家照此思路动手推导出公式.推导过程中要详细留下每一个步骤.请两位学生板演.设计意图：思路自然但代数变形过程复杂.让学生动手推导，体验一下复杂性，可以激发寻找简便方法的冲动.另外，留下详细步骤是为了后续分析引起复杂变形的原因，找到“化简”思路做准备.让学生板演可以方便地观察学生的思考、变形过程，为后续教学提供依据.估计有些学生不能推出公式，有些学生能推出公式.可以让这两类学生的代表谈谈体会.问题3从上述推导过程出发，请同学们分析一下引起繁琐的代数变形的原因.重点分析哪些步骤是可以简化的.设计意图：引导学生从代数变形角度反思，希望学生能够观
察到，具体求出垂足Pi(XpH)的坐标是引起复杂运算的原因，而从整体上考虑(Xi-Xo),仙一为)，可以使代数变形过程大大简化.问题4上面从简化代数变形的角度得到了一个简便方法.现在再回到几何图形上看.你能说说(Xi-xo),(Jx-Jo)的几何意义吗？由此你有什么新的想法?设计意图：通过分析(兀1一兀0)，(yi—jo)的几何意义，得到“作兀轴.y轴的平行线，构造直角三角形求距离”的思路启发.问题5从上述分析可知，通过卩0(兀0，为),Pi(XpJ1)作坐标轴的垂线，构造直角三角形，可以比较方便地得到点到直线的距离的表达式.你能构造别的直角三角形，给出更方便的方法吗?设计意图：通过概括思路，明确方法的要点，并引导学生提取更多的平面几何、三角函数的相关知识，得到更简便的方法.估计有部分学生可以得到：如图2,过作P.M//y轴,PoPi丄?・那么|PoM|=Ao—y|,tanZPiPoM=-专・由此就能得到简便的方法.问题6上述方法中有没有不够严密的地方？应当如何补救?设计意图：上述结论的漏洞有两个：一是E=0时不能采用；二是倾斜角需要考虑分类，即要分0&W，产X兀.通过查漏补缺，培养学生思惟的严谨性.问题7除了上述方法外，你还有其他方法吗?
设计意图：开拓学生的思惟空间，提醒学生还可以用别的方法求距离公式.问题8你能谈谈在上述过程中体现的数学思想方法吗？可以从数学定义的作用.如何从繁琐的过程中发现简化的思路、如何从问题的特点出发调动相关知识、如何在建立相关知识的联系中获得新的解题思路等方面进行归纳总结.设计意图：引导学生反思学习过程，归纳概括具有一般意义的数学思考方法，使知识融会贯通，以增强知识的迁移能力.
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