高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 ppt课件

点到直线的距离 2一、三维目标：1、知识与技能：理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2、能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离3、情感和价值：认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题二、教学重点：点到直线的距离公式教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. M地N地P地铁路问题１如图所示:已知M、N两地之间有一条铁路,问:P地到铁路的最短距离应该如何求解? M地N地P地即求P到MN的最短距离得到简化图形:由此我们联想到在三角形中一个顶点到对边的高的长度是这个顶点到对边的线段之中最短的问题２在上面问题中，如果∠MPN＝９０゜,PN＝３０Km，PM＝４０Km，那么点P到MN的距离是多少呢？ Q问题３：求点P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离OxyMNPL PQxyol当A=0时,即l⊥y轴时,作PQ⊥l,垂足为Ｑ因为P,Q横坐标相同,所以PQ的距离就是它们纵坐标之差的绝对值,即求点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。同样在B=0时,我们也可以求出P到直线l的距离PQxyoL我们先来看两种特殊情况： oxyPQ·l··解题思路Ⅰ:①求垂线方程②求交点坐标③求两点间的距离求点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。其中A≠0且B≠0此方法思路自然，但运算较为繁琐． Ax0+By0+C=0Bx0-Ay0-Bx1+Ay1=0P0(x0,y0)满足:所以l1:Bx-Ay-Bx1+Ay1=0因为Bx1-Ay1＋D=0太麻烦！依题意设l1:Bx-Ay＋D=0换个角度思考！ A(x0-x1)+B(y0-y1)=-Ax1-By1-C-------①B(x0-x1)–A(y0-y1)=0-------------②①2+②2：(A2+B2)[(x0-x1)2+(y0-y1)2]=(Ax1+By1+C)2Ax0+By0+C=0Bx0-Ay0-Bx1+Ay1=0 求点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离oyxPl·Q··αM·Ｎ∟∟思路Ⅱ①构造直角三角形:③根据等积变换求直角三角形斜边上的高②求PM和PN的长度此方法充分利用了数形结合，减少了运算量．你还能用其它方法解决这个问题吗？ QxyP(x0,y0)OL:Ax+By+C=0[思路二]构造直角三角形求其高.RS 点到直线距离公式xyP0(x0,y0)Ox0y0SRQd 点到直线距离公式xyP0(x0,y0)OSRQd注意：要将直线方程化为一般式． Oyxl:Ax+By+C=0P(x0,y0)1.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推导的；当A=0或B=0或点P在直线l上时，公式也成立.3.用此公式时直线方程要先化成一般式。2.公式的特征：分子是将点的坐标代入直线方程的一般式的左边得到代数式的绝对值，分母是Ｑ点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d点到直线的距离 (2)求点P(2,3)到直线3y=-4的距离．yxy=－·Po解：（1）由点到直线的距离公式得：（２）由右图可知（1）求点P（－1，2）到直线l：2x＋y－10=0的距离；(3)求点P(-1,2)到直线3x=2的距离.(3)如图，直线3x=2平行于y轴，Oyxl:3x=2P(-1,2)练习(4)求点P(3,-2)到直线的距离18/5 例题分析例1:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求的面积xyOABCh yxol2l1两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.两条平行直线间的距离：例2、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离是QP 在l1上任取一点P(x1,y1),证明:Ax1+By1=－C1yxol2l1QP直线到直线的距离转化为点到直线的距离例2、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离是注意:运用此公式时直线方程要化成一般式,并且X、Y项的系数要对应相等.例题 1.求平行线24x-10y+16=0与12x-5y-24=0之间的距离.Oyxl2l1l1与l2的距离为解：练习课本89页练习B2,3 yxol2l1两条平行直线间的距离：两平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离是QP注意:运用此公式时直线方程要化成一般式,并且X、Y项的系数要对应相等. 探究:已知直线方程为(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0。求证：无论a为何实数值，直线必过定点.证明法一：令a=0，直线方程为x-2y+5=0,令a=1，直线方程为3x-y-13=0联立将x=3,y=4代入方程(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0，左边=3(2a+1)+4(3a-2)-18a+5=0=右边。∴x=3,y=4满足方程，故无论a为何实数值，直线(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0必过定点(3,4) 探究:已知直线方程为(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0。求证：无论a为何实数值，直线必过定点.方法2；证明直线恒过定点，将直线写成关于a的函数式，由系数为零，得出关于x,y的值，即为定值证明:将(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0化为:x-2y+5+a(2x+3y-18)=0.∵a∈R,∴x-2y+5=0且2x+3y-18=0∴方程是过两定直线x-2y+5=0,2x+3y-18=0交点的直线方程。故无论a为何实数值，直线(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0必过定点 1.已知3a+2b=5,其中a,b为常数，则ax+by-10=0必过一定点.练习2.已知直线L：y=3x+3，求直线L关于点A（3，2）的对称直线的方程.解：设直线L关于点A的对称直线为直线L’，则L//L’.可设直线L’的方程为3x-y+C=0由点A到L与L’的距离相等，可得：解得：C=-17或C=3（舍去）L’的方程为：3x-y-17=0(6,4) 2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是1.平面内一点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式是小结