直线上一动点到两固定点之间距离的最值

直线上一动点到两固定点之间距离的最值【题型】P点为直线L上一动点，A点、B点不在直线上，且固定。当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B点的距离之差的绝对值最大。【引申】当P点移动到什么位置时，P点到A点的距离与P点到B点的距离之和最小。【思路】下面3条原理是解决此类问题的基础：1、所有此类问题都应纳入“三角形”中求解；（定理1）2、运用“在同一平面之中，两点之间，线段最短。”（定理2）3、运用“在同一平面中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。”（定理3）【几种不同情况的详细解答及相应证明】1、求直线上动点到直线外两固定点距离之差的绝对值的最大值（1）当两固定点在直线同侧时，如图1ABLPMP’P”M’图1假设直线上任意一点P’点，连接P’点与B点，P’点与A点，形成△P’BA，根据“定理3”，得知|P’A-P’B|A’B，而P”A’=P”A所以，P”B+P”A>A’B只有当P点移动到A’、B点连线与直线L的交点处时，即P点即处于直线L上，又处于线段A’B上时，|PA’+PB|=A’B，而PA’=PA，所以，|PA+PB|=A’B这时，P点到两定点的距离之和的绝对值才是其他所有点到两定点距离之和的绝对值中最小的。结论：当直线上一动点到直线同侧两固定点之距离之和的绝对值最小时，P点位于固定点与另一固定点对于直线的对称点的连线与直线的交点处。计算：P点的位置（或坐标）以及最小值 如图3，过B点做直线垂直于直线L，垂足为M’由于直角三角形MPA’与直角三角形BPM’，三角相等，所以，这两个三角形为相似三角形所以，MP/PM’=MA’/BM’，且PM’=MM’-MP所以，MP=MA’×MM’÷（MA+BM’），以此确定P点位置（或坐标）。又因为，|PA+PB|=|PA’+PB|=A’B，且MP，PM’=MM’-MP均已计算出，运用勾股定理，分别计算出PA’、PB长度，即可确定A’B的长度，即P点到两固定点距离之和绝对值的最小值。图4ABLPMP’P”M’（2）当两固定点在直线L异侧时，如图4根据上述同侧问题，我们可以看出，直接连接A、B两点与直线L的交点就是符合要求的P点，在此不再累述。【本节结论】直线上一动点到直线外两固定点的距离之和的绝对值只存在最小值，没有最大值。当两固定点在直线同侧时，动点位于固定点与另一固定点对于直线的对称点的连线与直线的交点处；当两固定点在直线异侧时，动点位于两固定点连线与直线的交点处。推导出：（1）当两固定点在直线上时，动点到两固定点的距离之和的绝对值的最小值，有且只有一个，就是两固定点之间的线段长。 （2）当两固定点在直线上时，直线上的动点到两固定点的距离之差的绝对值的最大值和距离之和的绝对值的最小值相等，即两固定点之间的线段长。