两条直线的位置关系点到直线的距离知识精讲一.本周教学内容：两条直线的位置关系；点到直线的距离教学目的：1.会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件；会用两直线相交或平行的条件判断两条直线相交、平行和重合；会求两直线的交点坐标；2.理解用勾股定理推导两直线垂直的条件：A1A2＋B1B2＝0或k1k2＝－1，会用这两个条件判断两直线是否垂直；3.掌握点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离公式。二.重点、难点重点是两直线平行、垂直的条件；点到直线的距离公式。难点是理解推导平行和垂直条件的思路和点到直线的距离公式的推导。知识分析：（一）两条直线的位置关系1.两直线位置关系的判定方法方法1：解两直线方程组成的方程组，由方程组的解的情况判定两直线的位置关系，这种方法虽思路自然，但运算较繁。方法2：用斜率，但要保证两直线的斜率存在。l1与l2相交的条件是：；l1与l2平行的条件是：且；l1与l2重合的条件是：且；方法3：系数法l1与l2相交的条件是：l1与l2平行的条件是：l1与l2重合的条件是：，或计算步骤如下：（1）给A1、B1、C1，A2、B2、C2赋值；（2）计算；（3）若，则和相交；（4）若，则和平行；（5）若，则两条直线重合。2.判定两条直线是否垂直的方法已知两条直线如下：和垂直的条件是：
设的斜率，的斜率，则有计算步骤：（1）给A1、B1、C1，A2、B2、C2赋值；（2）计算；（3）若M＝0，则；若，则与不垂直。3.交点设两条直线的方程分别是，，若有交点，则方程组有惟一的实数解，以这个解为坐标的点就是两直线的交点。特别值得说明的是：当的方程组成的方程组无公共解时，说明直线平行；当组成的方程组有无数个解时，说明重合。4.学习中应注意的问题（1）在判定两直线的位置关系时，如果斜率不存在，则不能用垂直、平行的条件。而应该直接由图形得到。两直线的位置关系是在直线的斜截式的基础上讨论的，若是其他形式，可先化为斜截式处理。（2）求两直线的交点，就是求解直线方程组成的方程组。其理论依据是直线的方程和方程的直线的概念。两直线相交，则交点同时在这两直线上，交点的坐标一定是两直线方程的解；若这两直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则以这个解为坐标的点必是两直线的交点。（3）在讨论直线的位置关系时，一定要注意特殊情况，即斜率不存在时直线的位置关系。（4）学习时掌握两条直线平行和垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能够求出两条直线的交点。（二）点到直线的距离1.点到直线的距离公式点P（x1，y1）到直线的距离的计算公式：注意：（1）若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离。（2）若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然适用。（3）点到n种特殊直线的距离：①点P（x0，y0）到x轴的距离；②点P（x0，y0）到y轴的距离；③点P（x0，y0）到与x轴平行的直线的距离，当a＝0时，即x轴，；④点P（x0，y0）到与y轴平行的直线的距离（4）计算步骤为：①给出点的坐标赋值：；②给出A、B、C赋值：A＝?，B＝？，C＝？；③计算：；④给出d的值。2.点到直线的距离公式的应用求平行线间的距离，设，
。由平行线之间的距离的定义知，在其中一条直线上任取一点P（x0，y0），作另一条直线的垂线，垂足为Q，则就是平行线的距离，即应用此公式要注意两点：①把直线方程化为一般形式且使x，y系数分别相等。如求两平行线和间的距离。错解：。错因分析：没有把化成一般式。正确解答：②两平行线间的距离与在其中一条直线上的点选择无关。【典型例题】例1.（1）求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程。（2）求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程。解析：（1）法一：由方程组得：直线l和直线平行直线l的斜率k＝－3根据点斜式有即所求直线方程为法二：直线l过两直线和的交点设直线l的方程为即直线l与直线平行解得从而所求直线方程为（2）法一：解方程组的交点P（0，2）直线的斜率为直线l的斜率为
直线l的方程为，即法二：设所求直线l的方程为。由该直线的斜率为，求得的值11，即可以得到的方程。点评：（1）一般地，与直线平行的直线可设为；与直线垂直的直线可设为；过已知点且与直线平行的直线可直接写出；过已知点（）且与直线垂直的直线可直接写出（2）经过两直线，交点的直线方程为：，其中是待定系数。该方程不能表示直线。例2.已知直线，，求满足下列条件的a的取值。（1）与相交；（2）与平行；（3）与重合。解析：（1）与相交，，即，或（2），且即且或2且或2时，（3）重合，且即且或2且或2时，与重合点评：判断两直线的相交、平行和重合，有明确地判断方法，应用时应首先确定判断方法中需要的各个量，再完整地运用公式即可。不过要特别注意特殊情况下需要特殊判断，灵活处理。例3.直线与互相垂直，求a的值。解析：法一：当a＝1时，为x＝3，为，故和垂直当时，的方程为，的方程为，显然不垂直当且时，由得解得综上所述，当a＝1或a＝－3时，法二：利用即解得a＝1或a＝－3点评：用斜率来判断两直线地平行或垂直时，应分有无斜率两种情况加以讨论。而用一般式判断时，要注意A,B为零时的特殊情况，即方程中x和y的系数有字母参数时，应分等于零或不等于零两种情况讨论，以避免遗漏特殊情况。例4.已知A（4，－3），B（2，－1）和直线，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2。
解析：设点P的坐标为（a，b）。因为A（4，－3），B（2，－1），所以线段AB的中点M的坐标为（3，－2）而AB的斜率所以线段AB的垂直平分线方程为即因为点P（a，b）在上述直线上，所以①又点P（a，b）到直线的距离为2所以，即为②由①②联立可得：或∴所求点的坐标为（1，－4）或点评：在平面几何中，常用交轨法作图得点P的位置，而在解析几何中，则是将曲线用方程表示，用求方程组的解的方式求得点P的坐标。这是解析法的重要应用，也是其方便之处。例5.求过点M（－2，1），且与A（－1，2）、B（3，0）两点间距离相等的直线方程。解析：法一：设直线方程为，即由条件得解得或故所求的直线方程为或；当直线斜率没有时，不存在符合题意的直线。法二：由平面几何知识，l//AB或l过AB中点若l//AB，且则l方程为若l过AB的中点N（1，1），则直线方程为y＝1∴所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0点评：与定直线的距离为定值的集合是与定直线平行的两条平行直线，因此，由点到直线的距离公式和求轨迹方程的方法即可求得所求的方程。例6.求点A（2，2）关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标解析：设B（a,b）是A（2，2）关于直线的对称点则直线是线段AB的垂直平分线即一方面直线与线段AB垂直，即另一方面线段AB的中点在直线上于是有解得：所以所求对称点是（1，4）
点评：点P（x0，y0）关于直线的对称点P’（x，y）满足以下两个条件：①PP’的中点在上，可得：;②PP’⊥，可得：；联立①②即可求得P’（x，y）1.如果直线与直线平行，那么系数的值为（）A.－3B.－6C.D.2.直线和的位置关系是（）A.平行B.重合C.相交D.不确定3.已知直线与直线互相垂直，垂足为（1，c），则的值是（）A.－4B.20C.0D.244.直线与直线相交于第一象限，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.或5.直线和直线重合的条件是（）A.B.C.D.6.点在直线上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A.B.C.D.27.已知点到直线的距离为1，则等于（）A.B.C.D.8.和直线垂直，且在轴上的截距为2的直线方程是________________。9.已知直线的斜率为2，直线过三点，若//，则＝_____，＝_____。10.垂直于直线且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在轴上的截距是________。11.若点（3，5）关于直线的对称点为P，则点P的坐标是_____________12.求直线的方程：（1）过点P（2，－1）且与直线平行；（2）过点P（1，－1）且与直线垂直。13.已知定点A（－1，3）、B（4，2），在轴上求点C，使AC⊥CB。14.已知点A（－2，1）、B（4，3），求经过两直线和的交点和线段AB的中点的直线的方程。15.△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为，∠A的平分线所在直线的方程为，若顶点B的坐标为（1，2），求顶点A和C的坐标。
[参考答案]http://www.DearEDU.com1～7：BCAADBC8.9.4，－310.±311.（4，4）12.（1）由题意，设直线的方程为，由于直线过点P（2，－1），从而有，解得：，所以直线的方程为（2）由题意，设直线的方程为，由于直线过点P（1，－1），从而有，解得：，所以直线的方程为13.由题意，设点C的坐标为因为AC⊥CB，所以应有，即：解得：或所以所求点C为（1，0）或（2，0）14.由已知，得：线段AB的中点为（1，2）由，解得：，所以两直线和的交点为故所求直线的方程为，即15.因为，可得A（－1，0），又因为B点关于∠A的平分线的对称点B’在AC上，所以B’的坐标是（1，－2），从而AC所在直线的方程为。由直线BC垂直于直线可以得到直线BC的斜率为－2，所以BC的方程为，联立，可得C（5，－6）。
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