新课标创新教案点到直线的距离【情景导入】（多媒体投影）某供电局计划年底解决本地区最后一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计好的坐标图（即：以供电局为原点，正东方向为轴的正半轴，正北方向为轴的正半轴，长度单位为千米），得知这村庄的坐标是，离它最近的只有一条线路通过，其方程为，问要完成任务，至少需要多长的电线？【引导】师：你能否通过几何的方法找到在线路上哪一点架线才能使电线最短？生：由村庄对应的点向线路所在的直线作垂线，垂足即为所求的点。师：对上述问题实际上是一个求点到直线的距离的问题，显然如果通过实地测量费时费力，而通过这一节我们所学的知识就可以利用点的坐标和直线的方程直接确定此最短距离，这就是这一节我们将要学习的（书写课题）：点到直线的距离【引导】师：上几节我们通过直线的方程和点的坐标采用代数的方法解决了两直线的交点及两点间的距离等几何问题，我们知道点到直线的距离就是由点向相应的直线作垂线，垂足到该点的距离即为点到直线的距离，它是直线上各点和该点連线的最短距离。那么如图如何由已知点P0（x0,y0）,直线L：Ax+BY+C=0确定点P0直线L的距离呢？（师生互动）师：如图点P0到直线的距离即为线段P0Q的长度，我们能否利用上一节两点间的距离来解决呢？如何解决？请同学们说出你的解题思路（只说解法，不要求学生具体解答）生：思考并讨论。师：巡视指导，并点拔“求解两点间的距离关键是确定点Q的坐标，点Q的坐标可由我们学过的什么知识解决？”“如何写出直线P0Q的方程？”生：由P0Q，故直线的斜率为，从而直线P0Q的方程可求，而点Q为直线P0Q和直线的交点，利用两直线的方程通过解方程组的方法可解出点Q的坐标，再利用两点间的距离公式即可确定P0Q的长度即为点到直线的距离。师:回答的很好，思路很清晰，但显然具体的求解过程非常复杂，解析几何在解题过程中往往就有这样的特点，看似可行，但具体操作太过繁杂，只有换种思维才能顺利解答。
【引导】师：我们知道线段的长要利用三角形来求解．如何构造一个含所求线段又易于求解的三角形是解决这个问题的关键，如图当直线与x轴和y轴都相交时，过点P0分别作x轴和y轴的平行线，交直线于点R和S，那么P0Q即可在直角三角形P0RS中求得。请同学们根据这种思路完成此题。生：动手解答。师：（多媒体投影）当A0，B0，则直线L与x轴y轴都相交，过点P0分别作x轴和y轴的平行线，交直线于点R和S，则直线P0R的方程为：y=y0,R的坐标为【师生互动】师：上述求解过程还有没有问题？如何加以补充？生：讨论。师：点拔“平面上任一直线的位置关系可分为哪几类”“求解过程中点到直线的距离公式是在什么条件求解的？”“当A＝0或B＝0时是否符合上述公式？”生：计算并验证。【点拔】师：（1）当A＝0或B＝0即直线平行于x轴或y轴时，此时点P0（x0,y0）到直线距离d=,到直线的距离，显然这两种特殊情况均符合公式因此我们把叫做平面上点到直线的距离公式。（2）1．公式的结构特征：分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边得到的代数式加绝对值，分母是。 2．公式的适用范围：①该公式对于任何位置的点P（包括直线上的点）及任意直线都适合。②当A=0或B=0时，公式仍成立，但计算时常用图形直接求解。 3．使用公式时应注意的问题：使用点到直线距离的公式时，应先将直线方程化为一般式。 4．用方程的观点理解公式：该公式是含有6个量的方程，知道其中5个量可以求第6
个量。师：下面通过具体例题来熟悉公式的应用。（多媒体投影）例1 点A(a，6)到直线3x-4y=2的距离等于4，求a的值．【学生思考并解答】解 应用点到直线的距离公式，解关于a的方程：【点拔】两侧，如图(1-31)．由解的过程可知；当3a-26＞0时，所求点在已知直线的下方，当3a-26＜0时，所求点在已知直线的上方．（多媒体投影）已知点A（1,3）、B（3,1）、C（－1,0）求三角形ABC的面积。（师生互动）师：要确定三角形ABC的面积根据面积公式，需确定三角形一边边长及此边上的高，如何根据条件确定这两个量？生：分析条件并回答，可由A、B两点的坐标根据两点间的距离公式确定AB的长，AB边上的高可转化为点C到直线AB的距离。师：好！请同学们根据这种思路解答。（学生解完后教师用多媒体投影）解：如图：
设AB边上的高为h，则，AB边上的高即为点C到直线AB的距离。由直线方程的两点式AB所在直线的方程为：，即x+y-4=0，点C（－1,0）到直线x+y-4=0的距离，因此。【点拔】师：求点P（x,y）到直线Ax+By+C=0的距离的步骤是：（1）给点的坐标赋值：x1=?,y1=?（2）给A、B、C赋值：A＝？B＝？C＝？（3）计算（4）给出d的值。（迁移应用一）（多媒体投影）求过点，且与原点的距离等于的直线方程。（师生互动）师：如何根据条件设出直线的方程？在设直线方程时应注意什么问题？生：已知直线上一点，故可设点斜式方程，但应注意验证直线的斜率不存在时是否符合条件。师：请同学们给出此题的答案。生：再根据点到直线的距离公式，即可求出直线方程为或。（新知探究二）【引导】师：两条平行线间的距离是指夹在两平行线间的公垂线段的长，我们知道当两直线平行时，两平行线的距离处处相等，若已知两平行线的方程为，你能否根据点到直线的距离推出任意两条平行线间的距离？你能说出你的思路吗？生：由平面几何知识知，两平行线的距离等于其中一平行线上任意一点到另一平行线的距离，故可在其中一直线上取一点利用点到直线的距离即可确定。师：如何取点，使计算简单？你能说出你的理由吗？生：取直线与X轴或Y轴的交点，代入距离公式的分子时其中有一个为零。师：好！请同学们自已动手推导两平行线间的距离公式。
（多媒体投影）已知两平行线的方程分别为，当A0、B0时在直线上取与X轴的交点P（，0），则点到P到直线的距离为.经验证知当A＝0或B＝0时，两直线都平行于X轴或Y轴时也适合公式。师：下面通过题目巩固公式的应用。（多媒体投影）已知直线L1：2x-7y-8=0,L2:6x-21y-1=0,L1和L2是否平行？若平行，求L1和L2间的距离。（师生互动）师：如何根据两直线方程，来判断两直线的位置关系？生：一般根据直线的斜截式方程来判断，若两直线的斜率相等截距不等，两直线一定平行。师：你能用我们所学的知识用两种方法解答该题吗？【学生思考并解答】解：L1的斜率L2的斜率，故两直线平行。法一。易求直线L1与X轴的交点A的坐标为（4,0），点A到直线L2的距离为。法二。直线L2的方程可化为2x-7y-=0,根据两平行线间的距离公式。【点拨】师：注意两平行线间距离公式的适用范围是两直线的方程为，即方程的系数A、B相等的前提下才能适用，不满足条件的要化简后才能使用。
（迁移应用二）（多媒体投影）求直线关于点对称的直线方程。【师生互动】师：中心对称的两直线的位置关系是怎样的？它具备什么样的几何特征？生：中心对称的两直线是互相平行的，并且中心到这两条直线的距离相等。师：据此如何设出要求直线的方程的形式？生：根据平行的直线系方程可设直线方程为。师：请同学们解答此题。（多媒体投影）设所求直线方程为，则得(已知直线)或，∴所求的直线为。【点拔】师：解答此类题目，应紧紧把握对称的几何特征，利用对称的几何关系构造条件。【知能总结】（学生总结教师点评）本节课学习的主要内容：1、点到直线的距离公式及结构特点，及公式的应用。2、点到直线距离公式的推导。3．两平行线间的距离。教学思想和方法教学中体现数形结合、转化的数学思想，培养学生研究探索的能力。作业：P116习题3.3第9第10两题附一板书设计：课题：点到直线的距离一.1．点到直线距离公式的推导。2．公式应用二．两平行线间的距离公式应用三小结1．2．3作业
附二教学札记设计说明点到直线的距离公式是解决理论和实际问题的一个重要工具，教学中理应予以重视．但在以往的教学过程中遇到的最大困难是：思路自然的则运算很繁，而运算较简单的解法则思路又很不自然．这样就造成了教学中通常采用“满堂灌”、“注入式”，学生的思维得不到应有的训练，学生的主体作用也不能充分体现出来．为避免这个问题，有必要很好地探讨一下，“点到直线的距离公式”的教学如何更合理，怎样把教学过程变成师生共同探索、发现公式的过程，怎样使推导过程自然而简练．本节课是“两条直线的位置关系”的最后一个内容，在复习引入时，有意识地涉及两直线垂直、两直线的交点等知识，既帮助学生整理、复习已学知识的结构，也让学生在复习过程中自己“发现”尚未解决的问题，使新授知识在原认知结构中找到生长点，自然地引出新问题，符合学生的认知规律，有利于学生形成合理、完善的认知结构．教学过程中，逐步逼近目标，在这过程中展示了数学知识产生的思维过程．学生能够自觉地、主动地参与进来，教师的主导作用，学生的主体作用都得以充分体现，经常这样做，学生的数学思维能力必将逐步得到提高．通过对本节课教学的探讨，力求打破照本宣科、满堂灌、注入式的旧模式，希望达到较好的效果，使学生的思维得到有效训练，并能充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．
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