高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 教案

2.2.4点到直线的距离示范教案教学分析     点到直线的距离的公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课探究方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离”．希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想、化归思想和分类方法，由浅入深、由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维．三维目标     1．让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离，培养转化的数学思想．2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．重点难点     教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．课时安排     1课时导入新课     设计1.点P(0,5)到x轴的距离是多少？更进一步，在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？教师引出课题．设计2.我们知道点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点不在直线上，当点不在直线上时，怎样求出该点到直线的距离呢？教师引出课题．推进新课     (1)设坐标平面上(如下图)，有点P(x1，y1)和直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．作直线m通过点P(x1，y1)，并且与直线l垂直，设垂足为P0(x0，y0)．求证：①B(x0－x1)－A(y0－y1)＝0；②C＝－Ax0－By0.(2)试求出(x1－x0)2＋(y－y0)2.(3)写出点P到直线l的距离d的计算公式． (4)写出求点P(x1，y1)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤．讨论结果：(1)证明：①设直线m的方程为Bx－Ay＋D＝0，∵P(x1，y1)在m上，∴Bx1－Ay1＋D＝0，∴D＝Ay1－Bx1，∴直线m的方程为Bx－Ay＋(Ay1－Bx1)＝0，即B(x－x1)－A(y－y1)＝0.∴B(x0－x1)－A(y0－y1)＝0.②∵P0(x0，y0)在直线l上，∴P0(x0，y0)的坐标是方程Ax＋By＋C＝0的一组解，∴Ax0＋By0＋C＝0，∴C＝－Ax0－By0.(2)Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1＋(－Ax0－By0)＝A(x1－x0)＋B(y1－y0)，则[A(x1－x0)＋B(y1－y0)]2＝(Ay1＋By1＋C)2，又∵[B(x0－x1)－A(y0－y1)]2＝0，∴两等式相加，得(A2＋B2)[(x1－x0)2＋(y1－y0)2]＝(Ax1＋By1＋C)2，∴(x1－x0)2＋(y1－y0)2＝.(3)求点P到直线l距离转化为求P和P0两点之间的距离的问题．由距离公式，只要列出关于x1－x0，y1－y0的两个方程，就可求出这两点的距离d.则d＝|PP0|＝＝.即d＝.(4)步骤：①给点的坐标赋值：x1＝？，y1＝？；②给A，B，C赋值：A＝？，B＝？，C＝？；③计算d＝；④给出d的值．思路1例1求点P(－1,2)到直线2x＋y＝5的距离d.解：将直线方程化为一般式：2x＋y－5＝0.因为x1＝－1，y1＝2，A＝2，B＝1，C＝－5，所以由点到直线的距离公式，得d＝＝＝.变式训练1．求原点到直线l1：5x－12y－9＝0的距离；答案：2．求点P(－1，－2)到直线l2：x＋2y－10＝0的距离．答案：3例2(1)求证：两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离是d＝；(2)求平行线l1：12x－5y＋8＝0与l2：12x－5y－24＝0之间的距离．分析： 两条平行线的距离，就是其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离．解：(1)在l1上任取一点P(x1，y1)，则Ax1＋By1＝－C1.l1与l2之间的距离等于点P到l2的距离d＝＝；(2)由(1)所得公式，直线l1与l2的距离为d＝＝.即平行线l1与l2之间的距离是.点评：利用公式d＝求两平行直线间的距离时，必须将这两条直线方程化为含x与y的系数分别相等的形式，否则容易出错．变式训练1．两平行直线l1：2x－7y＋8＝0和l2：2x－7y－6＝0的距离d＝______.答案：2．两平行直线l1：3x＋5y＋2＝0和l2：6x＋10y＋8＝0的距离d＝______.答案：思路2例3求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程．分析：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等．解：设所求直线方程为2x＋11y＋C＝0，则＝C＝16(舍去)或C＝－38.∴所求直线为2x＋11y－38＝0.点评：解决本题的关键是明确所求直线与已知直线平行．变式训练1．已知直线l过两条直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点，且与A(2,3)，B(－4,5)两点的距离相等，求直线l的方程．解：直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点为(－1,2)．若直线l平行于直线AB，易求得直线l的方程为x＋3y－5＝0；若直线l通过线段AB的中点，易求得直线l的方程为x＝－1.所以直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.2．两平行直线l1，l2分别过A(1,0)与B(0,5)．若l1与l2的距离为5，求这两直线方程．解：|AB|＝＝>5，显然，直线l1，l2均不与x轴垂直．设l1的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，则点B到l1的距离为＝5，所以k＝0或k＝.l1的方程为y＝0或5x－12y－5＝0，可得l2的方程为y＝5或y＝x＋5.故所求两直线方程分别为l1：y＝0，l2：y＝5；或l1：5x－12y－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0. 1．求点P0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x＋y－10＝0；(2)3x＝2.解：(1)根据点到直线的距离公式，得d＝＝＝2.(2)因为直线3x＝2平行于y轴，所以d＝|－(－1)|＝.2．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△ABC的面积．解：设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2.AB边上的高h就是点C到AB的距离，AB边所在直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到x＋y－4＝0的距离为h＝＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.3．用解析法证明等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高．证明：在△ABC中，AB＝AC，P为BC延长线上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F.以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系(如下图)．设A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)(a>0，b>0)，则直线AB方程为bx－ay＋ab＝0，直线AC方程为bx＋ay－ab＝0，取P(x0,0)，使x0>a，则点P到直线AB，AC的距离分别为|PD|＝＝，|PE|＝＝.点C到直线AB的距离为|CF|＝＝，则|PD|－|PE|＝＝|CF|.问题：已知直线l：2x－y＋1＝0和点O(0,0)、M(0,3)，试在l上找一点P，使得||PO|－|PM||的值最大，并求出这个最大值．解：点O(0,0)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点为O′(－，)，则直线MO′的方程为y－3＝x，直线MO′与直线l：2x－y＋1＝0的交点N(－，－)即为所求， 则||PO－|PM||＝||PO′|－|PM||≤|MO′|所以||PO|－|PM||的最大值为|MO′|＝.本节课学习了：点到直线的距离公式及两平行直线间距离．本节练习B 2,3题．本节课采用探究式的教学方法，通过设问、启发、铺垫，为学生搭建探究问题的平台，让学生在问题情境中，自己去观察、归纳、猜想并证明公式，经历数学建模的过程，在自主探究、合作交流中获得知识，在多角度、多方面的解决问题中，使不同层次的学生都能有所收获与发展．根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合．学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣．备选习题1．已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等．解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a.∴l1的斜率也存在，即＝1－a，则b＝.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0.∵原点到l1和l2的距离相等，∴4||＝||.解得a＝2或a＝.因此或2．求过点M(2,3)且与点P(1,0)的距离是1的直线方程．解：当直线的斜率存在时，设过点M(2,3)且与点P(1,0)距离是1的直线的方程是y－3＝k(x－2)，将其化简为一般形式得kx－y－2k＋3＝0.由点到直线的距离公式得P点到直线的距离是1＝，解得k＝，所求直线方程为4x－3y＋1＝0. 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2时也满足已知条件．综上所述可知，所求直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.3．证明等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．证明：建立直角坐标系，如下图，设边长为2a，则A(0，a)、B(－a,0)、C(a,0)，直线AB的方程为x－y＋a＝0，直线AC的方程为x＋y－a＝0，直线BC的方程为y＝0.设P(x0，y0)是△ABC内任意一点，则|PD|＋|PE|＋|PF|＝＋|y0|＋.∵点P在直线AB、AC的下方，∴|PD|＋|PE|＋|PF|＝＋y0＋＝a(定值).