点到直线的距离过点P作l的垂线,P与垂足之间的长度点到直线的距离是指PlQ
已知点P(-1,2)和直线L:2x+y-10=0,求P点到直线L的距离先求出过P点和L垂直的直线:再求出L和L′的交点QL:2x+y-10=0L′QP(-1,2)L′:x-2y+5=0Q(3,4)∴|PQ|=
已知:P(x。,y。)和直线L:Ax+By+C=0(P不在直线L上),试求P点到直线L的距离。思路一:利用两点的距离公式可以求|PQ|的长度。分析:要求|PQ|的长度∵P点坐标已知,∴只要求出Q点坐标就可以了。又∵Q点是直线PQ和直线L的交点又∵直线L的方程已知∴只要求出直线PQ的方程就可以了即:|PQ|Q点坐标直线PQ与直线L的交点直线PQ的方程直线PQ的斜率直线L的斜率OLPQOLPQ
分析:现在最关键的是如何选取第三点M,以构成一个直角三角形思路二:利用直角三角形也可以求|PQ|的长度。显示显示显示
返回M点为任意点,所以坐标不好求。所以,|PM|、|MQ|均不好求。
返回M点在x轴上,相对而言|PM|,|MQ|易求一些,但计算量依然较大;
PM//y轴似乎也不好求,但角∠MPQ与直线L的倾斜角有关,因此可以利用三角函数关系来求:|PQ|=|PM|cos∠MPQ∠MPQ=α(α900)又∵cos∠MPQ=|cosα|具体分析再求|PM|
问:∠MPQ与倾斜角α有什么关系呢?))∵α+∠1=90°)PMQxyo(α12)yxoPQMα123∵∠1=180°-α∴α+∠2=90°又∵∠MPQ+∠2=90°∴∠MPQ=α又∵∠1+∠2=90°∠MPQ+∠3=90°∴∠MPQ=180°-α返回
下面求M点的坐标。设M(x1,y1)∵PM//y轴,∴x1=x。M点在直线L(Ax+By+C=0)上把M点坐标代入得:因此|PM|=|y0-y1|∴|PQ|=|PM|cos∠MPQ(PMQxyoαL
公式的完善1.当A=0,即L⊥y轴时PQxyoL2.当B=0,即L⊥x轴时PQxyoL3.当P点在L上时,显示显示公式成立公式明显成立公式成立
公式结构特点(1)分子是P点坐标代入直线方程;(2)分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根类似于勾股定理求斜边的长
练习1(1)P(—2,3)到直线y=—2的距离是________(4)P(—1,1)到直线3x=2的距离是_________(2)P(2,—3)到直线x+2y+4=0的距离是_______(3)用公式解P(—1,2)到直线2x+y—10=0的距离是______510
1.求平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,如P(3,0)则两平行线的距离就是点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离。(如图)因此,d=3练习2
思考?两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢?
求两条平行直线Ax+By+=0与Ax+By+=0的距离。解:在直线上Ax+By+=0任取一点,如P(x0,y0)则两平行线的距离就是点P(x0,y0)到直线Ax+By+=0的距离。(如图)因此,d=P
小结1、点到直线的距离公式及其推导;作业:P4512、13、14、152、利用公式求点到直线的距离。3、探索两平行直线的距离4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线”及“求(动)定点到(定)动直线的距离的最值”等等
当A=0,即L⊥y轴时PQxyoL此时L:y=又PQ//y轴A=0:返回
B=0:PQxyoL返回当B=0,即L⊥x轴时此时L:x=又PQ//x轴