高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 教学设计

2019-2020年高中数学《点到直线的距离公式》教学设计一、教学目标1．知识教学点点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用．2．能力训练点培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法．3．知识渗透点由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律．二、教材分析1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程．2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题．3．疑点：点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的．三、活动设计启发、思考，由特殊特殊推导一般，逐步推进，讲练结合．四、教学过程(一)提出问题已知点P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P到直线l的距离呢？(二)构造特殊的点到直线的距离学生解决：思考题1：求点P(2，1)到直线L：x-y+1=0的距离．学生可能寻求到这几种解法：方法1：由定义求出垂足，转化为两点间距离求解。方法2：利用最值结论，求两点距离最小值。设M(x，y)是l：x-y+1=0上任意一点，则d2=当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P到直线l的距离．方法3：利用倾斜角解三角形。直线x-y+1=0的倾角为45°。在Rt△OPQ中，|PQ|=|OP|也可过P作y轴的平行线交l于S，在Rt△PAS中，|PO|=|PS|方法4：在上面图形基础上，也可利用三角形面积公式：过P作x轴的垂线交L于S，∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|，(三)思考：若对一般情形，P(x0，y0)和直线l：Ax+By+C=0，你能否推导点到直线的距离公式？有以上的基本思路为基础，我们很快得到设A≠0，B≠0，直线l的倾斜角为α，过点P作PR∥Ox， PR与l交于R(x1，y1)∵PR∥Ox，∴y1=y．代入直线l的方程可得：当α＜90°时(如图1-37甲)，α1=α．当α＞90°时(如图1-37乙)，α1=π-α． ∵α＜90°，∴|PQ|=|PR|sinα1这样，我们就得到平面内一点P(x0，y0)到一条直线Ax+By+C=0的距离公式：如果A=0或B=0，上面的距离公式仍然成立，但这时不需要利用公式就可以求出距离．(四)例题例1 求点P0(-1，2)到直线：(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离．解：(1)根据点到直线的距离公式，得(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以例2．己知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0）求△ABC的面积。例3．求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离．解：在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3，0)，则两平行线间的距离就是点P(3，0)到直线2x-7y+8=0的距离(图1-38)．例4．正方形的中心在C(-1，0)，一条边所在的直线方程是x+3y-5=0，求其它三边所在的直线方程． 解：正方形的边心距设与x+3y-5=0平行的一边所在的直线方程是x+3y+C1=0，则中心到C1=-5(舍去0)或C1=7．∴与x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+7=0．设与x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程是3x-y+C2=0，则中心到这解之有C2=-3或C2=9．∴与x+3y-5=0垂直的两边所在的直线方程是3x-y-3=0和3x-y+9=0．(五)课后小结(1)点到直线的距离公式及其证明方法．(2)两平行直线间的距离公式．五、布置作业六、板书设计