高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

距离问题（两点间距离，点到直线的距离）一、考点突破知识点课标要求题型说明距离问题（两点间距离，点到直线的距离）1.理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单的应用。2.掌握中点坐标公式。3.会求两条平行直线间的距离。选择题填空题解答题1.通过两点间距离公式的推导，能更充分地体会数形结合思想的优越性。2.通过探索点到直线的距离公式的推导过程，渗透算法的思想、渗透数形结合、转化（或化归）等数学思想以及特殊与一般的方法。二、重难点提示重点：两点间的距离公式、中点坐标公式，点到直线的距离公式的推导及应用、用坐标法证明简单的几何问题。难点：点到直线的距离公式的推导思路、用坐标法证明简单的几何问题。考点一：平面上两点间的距离公式平面上P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点间的距离公式P1P2＝考点二：中点坐标公式对于平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），线段P1P2的中点是M（x0，y0），则考点三：点到直线的距离点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝【要点诠释】（1）应用点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0（A、B不同时为零）的距离公式d＝的前提是直线方程为一般式。特别地，当A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以通过数形结合思想求解。 （2）点P（x0，y0）到平行于轴的距离为；当P（x0，y0）在直线上时，点P到直线的距离为0；点P（x0，y0）到轴的距离为；点P（x0，y0）到轴的距离为；点P（x0，y0）到平行于轴的直线的距离为。考点四：两条平行直线的距离已知两条平行直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为d＝。【要点诠释】1.在求两条平行直线间的距离时，一定要将两平行直线方程化为一般式，同时利用等式性质将的系数化为相同的值。2.对于两条平行线间的距离，其求解方法可以直接套用公式，也可以转化为点到直线的距离求解。考点五：对称问题（1）求某点关于已知点的对称点关于的对称点为（2）求直线关于点的对称直线设直线的方程为，已知点，求关于对称的直线方程。设是直线上任意一点，它关于的对称点在直线上，代入得，即为所求的对称直线的方程。（3）求某点关于直线的对称点设，：，若关于的对称点为，则是的垂直平分线，即且的中点在上。解方程组可得点的坐标。（4）求某直线关于已知直线的对称直线求直线关于直线的对称直线：①若直线、相交，先求出交点。在直线上取一特殊点，求点关于直线的对称点，直线即直线。②若直线、平行，根据平行设出所求直线方程的一般式形式，再利用两平行线间的距离公式求出待定系数。【规律总结】1.设直线：①关于轴对称的直线是：；②关于轴对称的直线是：； ③关于原点对称的直线是：；④关于对称的直线是：；⑤关于对称的直线是：。2.①点关于轴的对称点；②点关于轴的对称点；③点关于轴的对称点；④点关于轴的对称点；⑤点关于轴的对称点；⑥点关于轴的对称点；⑦点关于轴的对称点；⑧点关于轴的对称点。例题1（点到直线的距离公式及其应用）求点P（1,2）到下列直线的距离：（1）l1：y＝x－3；（2）l2：y＝－1；（3）y轴。思路分析：点的坐标→直线方程化成一般式→点到直线的距离。答案：（1）将直线方程化为一般式为：x－y－3＝0，如图，由点到直线的距离公式得d1＝＝2。（2）方法一直线方程化为一般式为：y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d2＝＝3。方法二 ∵y＝－1平行于x轴，如图，∴d2＝|－1－2|＝3。（3）方法一 y轴的方程为x＝0，由点到直线的距离公式得d3＝＝1.方法二 如图可知，d3＝|1－0|＝1。 技巧点拨：应用点到直线的距离公式应注意的三个问题：1.直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式。2.点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用。3.直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合思想求解。例题2（两条平行直线间的距离）求两条平行直线l1：6x＋8y＝20和l2：3x＋4y－15＝0的距离。思路分析：解答本题可先在直线l1上任取一点A（2,1），然后再求点A到直线l2的距离即为两条平行直线间的距离；或者直接应用两条平行线间的距离公式d＝求解。答案：方法一 若在直线l1上任取一点A（2,1），则点A到直线l2的距离即为所求的平行线间的距离，则d＝＝1.方法二 l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－15＝0，故d＝＝1.技巧点拨：针对这种类型的题目一般有两种思路：1.利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离。2.直接应用公式d＝，但要注意两直线方程中x、y的系数必须分别相同。对称在求最值中的应用【满分训练】在直线：上，（1）求一点，使到和的距离之差最大；（2）求一点，使到和的距离之和最小。思路分析：设关于的对称点为，与的交点满足（1）；设关于的对称点为，与的交点满足（2）。事实上，对于（1），若是异于的点，则；对于（2），若是异于的点，则。答案：（1）如图所示，设关于的对称点为，则，即，① 又由于的中点坐标为，且在直线上，，即②解①②式得于是所在直线的方程为，即解与组成的方程组得即与的交点坐标为，为所求。（2）如图，设关于的对称点为，同（1）中方法求出的坐标为，所在直线的方程为，联立和的方程，解出其交点坐标为为所求。技巧点拨：本题属于求最值问题，它利用几何中的对称方法解决，体现了数形结合的思想。