高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 课堂探究

2.2.4点到直线的距离课堂探究探究一点到直线的距离1．求点P(x1，y1)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤：(1)给点的坐标赋值：x1＝？，y1＝？；(2)给A，B，C赋值：A＝？，B＝？，C＝？；(3)计算d＝；(4)给出d的值．2．P(x1，y1)到几种特殊形式的直线方程的距离可以用公式求，也可以直接写出．【典型例题1】求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)3x－4y＋1＝0； (2)y＝6； (3)y轴．思路分析：直接利用点到直线的距离公式求解即可．解：由点到直线的距离公式d＝，得(1)点P(3，－2)到直线3x－4y＋1＝0的距离d＝＝；(2)点P(3，－2)到直线y－6＝0的距离d＝＝8；(3)点P(3，－2)到y轴的距离等于点P(3，－2)到直线x＝0的距离，d＝＝3.点评直线方程先化为一般式Ax＋By＋C＝0，再使用点到直线的距离公式d＝不易出错，当直线与坐标轴平行或重合时，不必使用点到直线的距离公式，如点P(3,2)到直线x＝5与直线y＝－1的距离分别为2与3.【典型例题2】求过点A(2,1)且原点到该直线的距离为2的直线方程．思路分析：对于过一点A(2,1)的直线，应先考虑直线的斜率不存在时是否适合，再设斜率存在时，直线的斜率为k，利用直线的点斜式方程写出直线方程，并化为一般式方程，最后用点到直线的距离公式求解．解：(1)当过点A(2,1)的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，直线到原点的距离为d＝|x－0|＝|2－0|＝2，所以x＝2适合要求．(2)当过点A(2,1)的直线的斜率存在时，设斜率为k， 则直线方程为y－1＝k(x－2)，化为一般式方程为kx－y－2k＋1＝0.所以原点到直线的距离为d＝＝2，即＝2，整理得4k2－4k＋1＝4k2＋4，所以k＝－，所以直线方程为y－1＝－(x－2)，即3x＋4y－10＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.点评过一定点求直线方程多用待定系数法，且注意验证过该点且斜率不存在的直线是否满足题意．探究二两条平行线之间的距离对于两平行直线间的距离公式，应注意以下几点：(1)直线的方程必须是一般式，而且方程中x，y项的系数分别对应相等，对于不同系数的应先化为相同后再求距离．(2)两条平行直线间的距离，也可以转化为在一条直线上的一个点到另一条直线的距离来求，即转化为点到直线的距离．(3)两条平行线间的距离是这两条直线上的点之间的最小距离，也就是它们的垂线段的长．【典型例题3】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．思路分析：根据两条直线平行可设出所求直线方程5x－12y＋c＝0，再根据两直线间的距离求c.解法一：设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0(c≠6)．在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0，点P0到直线5x－12y＋c＝0的距离为＝，由题意得＝2.所以c＝32或c＝－20.故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0和5x－12y－20＝0.解法二：设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝， 解得c＝32或c＝－20.故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0和5x－12y－20＝0.探究三易错辨析易错点：因忽视斜率不存在的情况而致误【典型例题4】求经过点P(－3,5)，且与原点距离等于3的直线l的方程．错解：设所求直线方程为y－5＝k(x＋3)，整理，得kx－y＋3k＋5＝0.所以原点到该直线的距离d＝＝3.所以15k＋8＝0.所以k＝－.故直线l的方程为－x－y＋3×＋5＝0，即8x＋15y－51＝0.错因分析：没有考虑斜率不存在的情况，用点斜式设直线方程时，必须先弄清斜率是否存在，否则可能丢解．正解：当直线的斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x＋3)，整理，得kx－y＋3k＋5＝0.所以原点到该直线的距离d＝＝3.所以15k＋8＝0.所以k＝－.故所求直线方程为y－5＝－(x＋3)，即8x＋15y－51＝0.当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝－3也满足题意．故满足题意的直线l的方程为8x＋15y－51＝0或x＝－3.