高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 同步训练

2.2.4点到直线的距离5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.点(1，-1)到直线x-y+1=0的距离是()A.B.C.D.解析：本题考查点到直线的距离公式.由点到直线的距离公式可得.答案：C2.点P(x,y)在直线x+y-4=0上，O为坐标原点，则O点到P点的最小值为()A.B.C.D.2解析：OP的最小值即为O到直线x+y-4=0的距离d=.答案：B3.直线2x-y-1=0与直线6x-3y+10=0的距离是______________.解析：方法一:在2x-y-1=0上取x=0,则y=-1,即(0,-1)为直线上一点.由点到直线的距离公式得到d=.方法二：直线2x-y-1=0可化为：6x-3y-3=0,则d=.答案：10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有()A.3条B.2条C.1条D.0条解析：①直线的斜率存在为k，设直线方程为y-3=k(x-1)，由d==1，得k=；②直线的斜率不存在，直线为x=1,所以符合条件的直线共有两条.答案：B2.已知x、y满足3x+4y-10=0，则x2+y2的最小值为()A.2B.4C.0D.1解析：x2+y2视为原点到直线上的点P(x,y)的距离的平方，所以x2+y2最小值为原点到直线3x+4y-10=0的距离的平方.因为d==2，所以最小值为4.答案：B 3.与两平行直线：l1：3x-y+9=0,l2：3x-y-3=0等距离的直线方程为_____________.解析：到两平行直线的距离相等，说明该直线也与这两条直线平行，所以可设直线方程为3x-y+C=0.由两平行线间距离d=,可得|9-C|=|C+3|，解得C=3.∴所求直线方程为3x-y+3=0.答案：3x-y+3=04.已知直线l过点(0，1)，且点(1，-3)到l的距离为,求直线l的方程，并求出坐标原点到l的距离.解:显然当l的斜率不存在时不合题意.故设直线l的方程为y-1=k(x-0)，即kx-y+1=0.由题意,d=,整理得7k2-16k-23=0,解得k=-1或k=.∴直线方程为x+y-1=0或23x-7y+7=0.坐标原点到直线的距离d1=,d2=.5.求下列直线方程：(1)与直线l：3x-4y-20=0平行且距离为3的直线；(2)已知直线l1：2x+y-6=0和点A(1,-1)，过点A作直线l与已知直线l1相交于B点，且d(A,B)=5，求直线l的方程.解：(1)设所求直线方程为3x-4y+C=0(C∈R),由题设=3,解得C=-35或C=-5.故所求直线方程为3x-4y-35=0或3x-4y-5=0.(2)①当斜率不存在时，过点A(1，-1)与y轴平行的直线为x=1，解方程组求得B点坐标为(1,4)，此时d(A,B)=5,符合要求，此时所求直线方程为x-1=0.②当斜率存在时，设直线l方程为y+1=k(x-1),解方程组(k≠-2，否则与已知直线平行)由已知(-1)2+(+1)2=52,解得k=,∴y+1=(x-1),即3x+4y+1=0.综上,可知直线l的方程为x-1=0或3x+4y+1=0.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.直线x-y-2=0与直线x-y+1=0的距离是() A.B.C.D.解析：在直线上取点,比如(1,-1),再应用点到直线的距离公式,则有d=.答案：D2.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，那么它们之间的距离是()A.4B.C.D.解析：先由两直线平行求出m的值,再在其中一直线上任取一点计算点到直线的距离,或者直接利用平行线间的距离公式.方法一:因为两直线平行,所以3m=12，即m=4，在3x+2y-3=0上可任取一点(0,),则(0,)到直线6x+4y+1=0的距离d=.方法二:因为两直线平行,所以3m=12，即m=4，6x+my+1=0可化为3x+2y+=0,由两平行直线的距离公式得d=.答案：D3.到两条直线3x-4y+5=0和5x-12y+13=0距离相等的点P(x,y)的坐标，必满足方程()A.x-4y+4=0B.7x+4y=0C.x-4y+4=0或4x-8y+9=0D.7x+4y=0或32x+56y+65=0解析：设所求点为P(x,y)，则.答案：D4.已知点P(a,b)是第二象限的点，那么它到直线x-y=0的距离是()A.(a-b)B.b-aC.(b-a)D.解析：∵P(a,b)是第二象限点,∴a＜0,b＞0.∴a-b＜0.点P到直线x-y=0的距离d=(b-a). 答案：C5.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1，则a等于()A.B.C.D.解析：考查点到直线的距离公式及运算能力.由点到直线的距离公式,得=1,∴|a+1|=.∴a=±-1.又a＞0,∴a=-1.答案：C6.(经典回放)已知定点A(0,1),点B在直线x+y=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是___________.解析：可设B(x,-x),所以d(A,B)=,所以d(A,B)min==.这时x=,B点的坐标为(,).答案：(,)7.经过点A(5，10)且和原点距离是10的直线的方程是__________.解：(1)k存在时，设直线方程为y-10=k(x-5),∴10=.∴k=或k=0.∴y-10=(x-5)或y=10.(2)k不存在时，x=5不符合题意.综上所述，4x+3y-50=0或y=10为所求.答案：4x+3y-50=0或y=108.两直线l1:x+y-2=0与l2:7x-y+4=0相交成四个角，则这些角的平分线所在的直线的方程为______________.解析：设P(x,y)是角平分线上任一点，则由||=||，可得角平分线的方程.答案：6x+2y-3=0或x-3y+7=0 9.已知两直线l1:7x+8y+9=0和l2:7x+8y-3=0，直线l与l1、l2的距离分别为d1、d2，且d1∶d2=1∶2，求直线l的方程.解：设直线l的方程是7x+8y+C=0，由题意得=1∶2,解得C=21或C=5，所以直线方程为7x+8y+21=0或7x+8y+5=0.10.两条互相平行的直线分别过A(6，2)、B(-3，-1)两点，并且各自绕着A、B点旋转(但始终保持平行关系).如果两条平行线间的距离为d.(1)求d的变化范围；(2)求当d取得最大值时的两条直线的方程.解法一:(1)设两条直线分别为y=kx+b1和y=kx+b2,则而d=,∴d2+d2k2=81k2-54k+9,即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.由于k∈R,所以Δ=542-4(81-d2)(9-d2)≥0.整理得4d2(d2-90)≤0,∴0＜d≤.(2)当d=时，k==-3,∴两条直线的方程分别为3x+y-20=0和3x+y+10=0.解法二:(1)根据图形可知，当两平行线均与线段AB垂直时，距离d=|AB|=最大；当两平行线重合，即都过A、B点时，距离d=0最小.但平行线不能重合,∴0＜d≤.(2)同方法一.11.求经过点M(2,2)且与两点A(2,3)、B(6,-9)等距离的直线l的方程.解法一:直线l斜率不存在时,显然不合题意,当直线的斜率存在时,可设为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0.由题意得,解得k=或-3,代入kx-y+2-2k=0得5x+2y-14=0或3x+y-8=0.解法二:由条件知这样的直线l有两条,一条与AB平行,另一条过线段AB的中点.(1)当l∥AB时,kl=kAB==-3,从而l的方程为y-2=-3(x-2),即3x+y-8=0.(2)当l过AB的中点时,AB的中点为N(4,-3),kl=kMN=,从而l的方程为y-2=(x-2),即5x+2y-14=0.