高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

2.2.4 点到直线的距离1．掌握点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离．2．会利用距离公式解决点关于线对称和线关于线的对称的问题．1．点到直线的距离公式已知点P(x1，y1)，直线l的方程：Ax＋By＋C＝0，则点P到l的距离d＝________.(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离(这是从运动的观点来看)．(2)点到直线的距离公式只与直线一般式方程的系数有关，所以公式适用于所有的直线．使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程．【做一做1－1】点P(2，－3)到直线l：x－2y－1＝0的距离为__________．【做一做1－2】若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，则m＝__________.2．点到几种特殊直线的距离(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0－a|，当a＝0时，即x轴，d＝|y0|；(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0－b|，当b＝0时，即y轴，d＝|x0|.【做一做2】点P(2，－6)到直线y＝－5的距离为__________，到x＝9的距离为__________．3．两平行直线间的距离公式设直线l1，l2的方程分别为Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0，其中C1≠C2，则l1与l2之间的距离d＝__________.【做一做3】直线x－y－2＝0与直线x－y＋1＝0的距离是(  )．A．B．C．D．求两平行线间的距离的注意事项剖析：(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，这里使用了化归与转化思想．(2)d＝可作为两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离公式使用．(3)使用公式d＝时要注意，两平行线的方程中关于x，y的一次项系数必须是对应相同的，即两直线的方程应为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式． (4)求两平行线间的距离共有两种方法：方法一是利用公式d＝；方法二是先在一条直线上取一点P，求得的P到另一条直线的距离即是两平行线间的距离．题型一点到直线的距离公式【例1】若点(－2,2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离为4，求m的值．分析：直接根据点到直线的距离公式列方程求解．反思：点到直线的距离公式中体现了方程思想，本题中应注意含有绝对值的方程有两解．题型二两平行线之间的距离【例2】已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，求l1的方程．分析：由l1与l2平行设出l1的方程后根据平行线间的距离公式求解．反思：求平行线之间的距离时，一定注意把两直线方程中x，y项的相应系数化为相同值，否则，会使结果出错．题型三点到直线的距离公式的综合应用【例3】直线4x＋3y－12＝0与x轴、y轴分别交于点A，B．(1)求∠BAO的平分线所在的直线的方程；(2)求点O到∠BAO的平分线的距离．分析：(1)利用角平分线上的点到角两边的距离相等列方程；(2)利用点到直线的距离公式直接求解．反思：要注意结合图示对第(1)小题的结果进行检验，不然会出现增解现象．【例4】已知正方形的中心为G(－1,0)，一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．分析：可从另外三条边与已知边的位置关系以及中心G到另外三边的距离等于其到已知边的距离这两个方面入手求解另外三边所在直线的方程．反思：在正方形载体中一定要注重对称性及平行、垂直的利用，另外，要注意总结设直线方程形式的技巧．题型四易错辨析【例5】求经过点P(－3,5)，且与原点距离等于3的直线方程．错解：设所求直线方程为y－5＝k(x＋3)，整理，得kx－y＋3k＋5＝0.∴原点到该直线的距离d＝＝3.∴15k＋8＝0.∴k＝－. 故所求直线方程为－x－y＋3＋5＝0，即8x＋15y－51＝0.错因分析：没有考虑斜率不存在时的情况，用点斜式设直线方程时，必须先弄清斜率是否存在，否则可能丢解．1点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(  )．A．B．C．D．2点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则O点到P点的最小值为(  )．A．B．2C．D．23过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有(  )．A．3条B．2条C．1条D．0条4直线2x－y－1＝0与直线6x－3y＋10＝0的距离是__________．5(2011·云南高中统一检测)已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．答案：基础知识·梳理1．【做一做1－1】【做一做1－2】7或－3 P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离d＝＝4，解得m＝7或－3.【做一做2】1 73．【做一做3】D典型例题·领悟【例1】解：由点(－2,2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离为4，可得d＝＝＝4，解得m＝18或－22.因此，m的值为18或－22.【例2】解：∵l1∥l2，∴可设l1的方程为x＋y＋c＝0.∴l1与l2的距离为＝.∴c＝1或c＝－3.从而l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.【例3】解：(1)∵直线4x＋3y－12＝0与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴令x＝0得y＝4， 令y＝0，得x＝3，即A(3,0)，B(0,4)．由题图可知∠BAO为锐角，∴∠BAO的平分线所在直线的倾斜角为钝角，其斜率为负值．设点P(x，y)为∠BAO的平分线上任意一点，则点P到直线OA的距离为|y|，点P到直线AB的距离为＝，∴|y|＝.整理，得2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0.∵∠BAO的平分线所在直线的斜率为负值，∴∠BAO的平分线所在直线的方程为x＋2y－3＝0.(2)∵∠BAO的平分线所在直线的方程为x＋2y－3＝0，∴点O到直线x＋2y－3＝0的距离为d＝＝.即点O到∠BAO的平分线的距离为.【例4】解：正方形的中心G(－1,0)到四边的距离均为＝.设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x＋3y＋C1＝0，则＝，即|C1－1|＝6，解得C1＝－5(舍去)或C1＝7.故与已知边平行的直线方程为x＋3y＋7＝0.设正方形另一组对边所在直线方程为3x－y＋C2＝0，则＝，即|C2－3|＝6，解得C2＝9或C2＝－3.所以正方形另两边所在直线的方程为3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.【例5】正解：当直线的斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x＋3)，整理，得kx－y＋3k＋5＝0.∴原点到该直线的距离d＝＝3.∴15k＋8＝0.∴k＝－.故所求直线方程为y－5＝－(x＋3)，即8x＋15y－51＝0.当直线的斜率不存在时，即x＝－3也满足题意．故满足题意的直线方程为8x＋15y－51＝0或x＝－3.随堂练习·巩固1．C 由点到直线的距离公式可得＝. 2．B OP的最小值即为O到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2.3．B 当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为y－3＝k(x－1)，由d＝＝1，得k＝；当直线的斜率不存在时，直线为x＝1，所以符合条件的直线共有两条．4． 直线2x－y－1＝0可化为6x－3y－3＝0，则两直线间的距离d＝＝＝.5．解：设点C到直线AB的距离为d，由题意知：|AB|＝＝5，∴S△ABC＝|AB|•d＝×5×d＝10.∴d＝4.直线AB的方程为＝，即3x＋4y－17＝0.又∵点C在直线3x－y＋3＝0上，设C(x0,3x0＋3)，∴d＝＝＝|3x0－1|＝4.∴3x0－1＝±4.∴x0＝－1或.∴点C的坐标为(－1,0)或.