高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案
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高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 学案

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时间:2022-08-25

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资料简介
点到直线的距离公式 一、教学目标(一)知识教学点点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用.(二)能力训练点培养学生数形结合能力,综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力,训练学生由特殊到一般的思想方法.(三)知识渗透点由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律.二、教材分析1.重点:展示点到直线的距离公式的探求思维过程.2.难点:推导点到直线距离公式的方法很多,怎样引导学生数形结合,利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点,可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题.3.疑点:点到直线的距离公式是在A≠0、B≠0的条件下推得的.事实上,这个公式在A=0或B=0时,也是成立的.三、活动设计启发、思考,逐步推进,讲练结合.四、教学过程(一)提出问题已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,点的坐标和直线的方程确定后,它们的位置也就确定了,点到直线的距离也是确定的,怎样求点P到直线l的距离呢?(二)构造特殊的点到直线的距离学生解决思考题1 求点P(2,0)到直线L:x-y=0的距离(图1-33). 学生可能寻求到下面三种解法:方法2 设M(x,y)是l:x-y=0上任意一点,则当x=1时|PM|有最小值,这个值就是点P到直线l的距离.方法3 直线x-y=0的倾角为45°,在Rt△OPQ中,|PQ|=|OP|进一步放开思路,开阔眼界,还可有下面的解法:方法4 过P作y轴的平行线交l于S,在Rt△PAS中,|PO|=|PS|方法5 过P作x轴的垂线交L于S∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|, 比较前面5种解法,以第3种或4种解法为最佳,那么第3种解法是否可以向一般情况推广呢?思考题2 求点P(2.0)到直线2x-y=0的距离(图1-34).思考题 3求点P(2,0)到直线2x-y+2=0的距离(图1-35).思考题4 求点P(2,1)到直线2x-y+2=0的距离(图1-36). 过P作直线的垂线,垂足为Q,过P作x轴的平行线交直线于R,(三)推导点到直线的距离公式有思考题4作基础,我们很快得到设A≠0,B≠0,直线l的倾斜角为α,过点P作PR∥Ox, PR与l交于R(x1,x1)(图1-37).∵PR∥Ox,∴y1=y.代入直线l的方程可得:当α<90°时(如图1-37甲),α1=α.当α>90°时(如图1-37乙),α1=π-α. ∵α<90°,∴|PQ|=|PR|sinα1这样,我们就得到平面内一点P(x0,y0)到一条直线Ax+By+C=0的距离公式:如果A=0或B=0,上面的距离公式仍然成立,但这时不需要利用公式就可以求出距离.(四)例题例1 求点P0(-1,2)到直线:(1)2x+y-10=0,(2)3x=2的距离.解:(1)根据点到直线的距离公式,得(2)因为直线3x=2平行于y轴,所以 例2 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则两平行线间的距离就是点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离(图1-38).例3 正方形的中心在C(-1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其它三边所在的直线方程.解:正方形的边心距设与x+3y-5=0平行的一边所在的直线方程是x+3y+C1=0,则中心到C1=-5(舍去0)或C1=7. ∴与x+3y-5=0平行的边所在的直线方程是x+3y+7=0.设与x+3y-5=0垂直的边所在的直线方程是3x-y+C2=0,则中心到这解之有C2=-3或C2=9.∴与x+3y-5=0垂直的两边所在的直线方程是3x-y-3=0和3x-y+9=0.(五)课后小结(1)点到直线的距离公式及其证明方法.(2)两平行直线间的距离公式.五、布置作业1.(1.10练习第1题)求坐标原点到下列直线的距离:2.(1.10练习第2题)求下列点到直线的距离:3.(1.10练习第3题)求下列两条平行线的距离:(1)2x+3y-8=0, 2x+3y+18=0.(2)3x+4y=10, 3x+4y=0. 解:x-y-6=0或x-y+2=0.5.正方形中心在C(-1,0),一条边所在直线方程是3x-y二0,求其它三边所在的直线方程.解:此题是例3交换条件与结论后的题:x+3y-5=0, x+3y+7=0, 3x-y+9=0.六、板书设计

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