高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 教案

《点到直线的距离》说课教案各位评委、各位老师，大家好！今天，我说课的题目是“点到直线的距离”。下面从教材分析、学情分析、教学目标分析、教法与学法、教学过程设计、设计说明等七个方面进行说课。一、教材分析：（一）教学内容“点到直线的距离”是人民教育出版社全日制普通高级中学教科书(必修2)《数学》第三章第三节的内容，本节内容分1课时进行学习，现在就来说一说本节内容的地位和作用。（二）教材的地位和作用解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础，而且点到直线距离公式得推导过程也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础。而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，如曲线与方程、分类讨论等数学思想、（三）重难点分析点到直线的距离公式是高中数学中重要的公式之一，是解决许多数学问题的重要工具。因此，我将本节课的重点确定为“公式的推导和应用”，要把握住这个重点，关键在于理解并掌握点到直线的距离公式的推导过程，其本质是利用几何图形建立代数关系。由于学生难以想到用构造辅助线的方式解决公式的推导问题，因此我将本节课的难点确定为“公式的推导”，关键是“怎样自然地想到利用坐标系中的x轴或y轴构造Rt△，从而推出公式”。二、学情分析学生在此之前已经学习了点点距离、线线位置关系，初步掌握了“用代数的方法研究曲线的性质”这一研究解析几何问题的重要方法，并且学习了函数、三角函数、向量、不等式等相关知识，这就为学生利用已学过的知识探讨点到直线的距离公式做好了铺垫。在能力上高二的学生心思、思维日渐成熟，初步具备了运用所学知识解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性及运算的推理能力还需进一步的培养和加强。在情感方面多数学生具有积极的学习态度，能主动参与教学活动，但少数学生的学习主动性还需要教师营造良好的学习气氛加以调动。三、教学目标分析 根据教学大纲的要求、本节教学内容的特点和高二学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：知识目标——（1）点到直线距离公式的推导，并能用公式计算；（2）领会渗透于公式推导中的数学思想（如数形结合、分类讨论、由特殊到一般等数学思想）。能力目标——通过学生分组使用不同的数学思想探讨点到直线的距离公式，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。情感目标——培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神为了讲清教材的重难点，使学生能够达到本课题设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析。五、教法与学法分析：（一）教法分析我们都知道数学是一门发展人的思维的重要学科。因此，在教学过程中，不仅要使学生“知其然”，还要使学生“知其所以然”。本着这样的原则和所要完成的本节课的教学目标，并为激发学生学习兴趣，我采用了如下的教学方法：（1）启发式、提问式教学方法----新课程倡导的教学过程是“以教师为主导，学生为主体”。通过这种教学方法，可以充分调动学生学习的主动性和积极性，由学生自己发现并总结点到直线距离公式的推导方法，这样可以有效培养学生的认真严谨的学习态度，而且可以有效的突出重点，突破难点。（2）分组讨论法----根据新课程教学理念，力求在教学过程中营造一种民主平等和谐的教学氛围，培养学生的合作交流能力、探究能力以及创新意识。（3）多媒体辅助教学法----在教学过程中使用多媒体教学工具，将图像、公式、图表等直观清晰展现出来，激发学生学习兴趣，有利于学生形成清晰的知识结构，牢固的掌握新知识。（二）学法分析古人曰：“授人以鱼，不如授人以渔”，教给学生学习方法远比教给学生知识来的重要。因此根据上面的教学方法，我拟定的教学学法是：（1）自主探究的学习方法；（2）合作学习的方法；（3）观察分析法；（4）总结反思法等等，这样做增加了学生自主参与，合作交流的机会，教给了学生获取知识的途径、思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体。六、教学程序：（有待修改，自己体会教学过程，设计一个新的教学过程）一堂课成败的关键主要看教学设计的条理性，清晰性和逻辑性。本节课的教学设计力求按照“以学生发展为本”，“培养学生的创新精神和实践能力”的新课改 理念，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，我将从以下几个环节进行教学1、教师提出问题，引发认知冲突（约7分钟）问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0,y0）和一条定直线l：Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。由于学生在前面已经学习过两点之间的距离公式，考虑到学生已有的知识水平和思维能力，会有学生提出以下的方案。学生1：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|PQ|。接着，我用多媒体出示预先准备好的下列5道题(尝试性题组)，请5位学生上黑板练习（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）：(1)求P（1,2）到直线l：x=3的距离d;（答案：d=2）(2)求P（x0,y0）到直线l：By+C=0（B≠0）的距离d；（答案：）(3)求P（x0,y0）到直线l：Ax+C=0（A≠0）的距离d；（答案：）(4)求P（6,7）到直线l：3x-4y+5=0的距离d；（答案：d=1）(5)求P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距离d。第（1）容易、（2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生1回答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。2．教师启发引导，学生走出困境（约15分钟）在学生陷入困境的情况下，其实已经大大激发了学生的求知欲和好奇心，于是我遵循高中学生的心理特征，按照学生的认知规律，提出了下一个问题：教师：根据以上5位学生的运算结果，你能得到什么启示？学生2：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，而当直线是倾斜位置时则较难；含有多个字母时虽然想起来思路很自然，但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。P(x0,y0)Q图1教师接着追问：那么，练习（5）有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（2）、（3）的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们思考。这个时候，有预习过教材的同学，受到启发会提出课本中解决此问题的方法，三角形的面积法。再由教师的一步步引导，学生和教师一起完成公式的推导过程。并对学生思考过程中的漏洞加以补充和说明。（学生3：能！如图1，过点P作x、y轴的垂线分别交直线l于S、R，则由三角形面积公式可得|PQ|=（|PR|·|PS|）/|RS|教师：|PR|怎么求？|PS|又怎么求？ 学生3：设R（x1,y0），则由Ax1+By0+C=0，得x1=—（By0+C）／A，∴|PR|=|x0-x1|=|Ax0+By0+C|／|A|；同理：|PS|=|Ax0+By0+C|／|B|。教师：|RS|怎么求？学生3：|RS|==（/|AB|）·|Ax0+By0+C|。教师：|PQ|结果是什么？学生3：|PQ|=。教师：公式的这种推导方法是否需要作补充说明？学生4：当A=0或B=0时，ΔPRS不存在，故应说明公式当A=0或B=0时是否适用？由（2）、（3）检验可知公式依然成立，即公式对任意直线都适用。）在学生已经提出了两种公式得推导方法的前提下，学生通过推导公式的过程，发现了点到直线的距离公式得简单规律，在心理上已经具备了一定的成就感，于是我设计了下一个环节。3应用巩固新知，解决实际问题（约8分钟）在学生推导出公式之后，紧接着提出一个与点到直线距离公式相关的实际问题，在学生求解的过程中，教师巡视，观察，最后可提问一个学生代表复述自己的解题思路，教师进行板书，规范学生的解题步骤。【设计意图】将实际问题融入课堂教学，不仅培养了学生利用数学问题解决实际问题的能力，更能让学生体验数学来源于实践，又服务于生活实践，培养学生对数学的学习兴趣，从而提高学生学习的主动性和积极性。4课堂练习，巩固新知（约5分钟）教材第53页：1、2、35课堂小结，再现新知（3分钟）课堂小结的目的是强化认识，可以把课堂传授的知识尽快地转化为学生的知识结构；简单扼要的课堂小结，可使学生更深刻地理解点到直线的距离公式在数学中的应用，并且逐渐地培养学生形成良好的数学素质。6作业布置，及时反馈（2分钟）为了使所有学生巩固所学知识，我布置了“必做题”；又为学有余力者留有自由发展的空间，我布置了“探究题”。 （1）必做题：习题1.5的1、3题（2）探究题：①若a、b不同时为零，记ax2+bx+c=0的解集为P，ax2+bx+c>0的解集为M，ax2+bx+c0的解集是R，求实数k的取值范围。7板书设计我比较注重直观地、系统的板书设计，并及时地体现教材中的知识点，以便于学生能够理解掌握。我的板书设计是：一元二次不等式解法（1）(一)“三个一次”的关系(二)观察y=x2-x-6的图像(三)“三个二次”的关系(四)例题解析例1例2例3例4(五)总结(六)作业七、设计说明1、设计思路2、自己创新的地方八、结束语六、教学设计评价：《点到直线的距离公式》是解决理论和实际问题的一个重要工具，这不仅是其有广泛的应用，而更重要的是公式推导过程中蕴含着重要的数学思想，教学中理应予以重视。因而，在设计这节课的教学方案时，要力求暴露公式推导中的思维过程，突出整体观念对思维过程的指导作用。但在以往的教学过程中遇到的最大困难是：思路自然的则运算很繁，而运算较简单的解法则思路又很不自然。这样就造成了教学中通常采用“满堂灌”、“注入式”，学生的思维得不到应有的训练，学生的主体作用也不能充分体现出来。为避免这个问题，有必要很好地探讨一下，“点到直线的距离公式”的教学如何更合理，怎样把教学过程变成师生共同探索、发现公式的过程，怎样使推导过程自然而简练。 本节课是“两条直线的位置关系”的最后一个内容，在复习引入时，有意识地涉及两直线垂直、两直线的交点等知识，既帮助学生整理、复习已学知识的结构，也让学生在复习过程中自己“发现”尚未解决的问题，使新授知识在原认知结构中找到生长点，自然地引出新问题，符合学生的认知规律，有利于学生形成合理、完善的认知结构。教学过程中，逐步逼近目标，在这过程中展示了数学知识产生的思维过程。学生能够自觉地、主动地参与进来，教师的主导作用、学生的主体作用都得以充分体现，经常这样做，学生的数学思维能力必将逐步得到提高。在教学中只要抓住“构造一个可用的三角形”这个关键，就能突破难点，还可以采用其他的方法推导“点到直线的距离”公式，易于学生的理解和掌握。这堂课，既是一堂新课，也是实验课；既学习了新知识，也锻炼了用从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法分析解决问题的能力，提高了学生使用现代化工具的动手能力；也让学生感受到数学变化的美；也在学生个性情感中融入了创新的意识与胆量。