3.3.3～3.3.4 点到直线的距离、两条平行直线间的距离问题导学一、点到直线的距离活动与探究1求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．迁移与应用1．点P(1,2)到直线y＝x－3的距离是________；到直线y＝－1的距离是________；到直线x＝3的距离是________．2．求过点A(－1,2)且到原点的距离等于的直线方程．(1)应用点到直线的距离公式时，必须把直线方程化为一般式．求点P(x0，y0)到直线x＝a的距离时，可用公式d＝|a－x0|求解．求点P(x0，y0)到直线y＝b的距离时，可用公式d＝|b－y0|求解．(2)根据所给条件求直线方程时，通常用待定系数法求解，即先设出直线的方程，再根据条件求出方程中的参数，需特别注意的是，若需设出斜率，则应分斜率存在与不存在两种情况讨论．二、两平行线间的距离活动与探究2直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程．迁移与应用1．两平行线3x－2y－15＝0与3x－2y＋11＝0的距离为________．2．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝________．3．求与直线3x－4y－2＝0平行且距离为2的直线方程．求两平行直线间的距离有两种思路：(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(2)直接利用两平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离公式d＝，但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．三、距离公式的应用活动与探究3已知直线l过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截的线段中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．迁移与应用1．已知直线l：x＋2y－3＝0，求与l平行且距离为1的直线方程．2．求垂直于直线x－y＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程．应用距离公式解答有关问题时，要注意以下几点：(1)直线的方程是一般式，在用两平行线间的距离公式时，两方程中x，y的系数分别相等；(2)要结合图形，帮助解答；(3)求直线方程时，要特别注意斜率不存在的情况．当堂检测1．点A(－1,2)到直线3y＝－2的距离是( )
A．4B．1C．D．2．直线x＋6＝0与x－7＝0之间的距离为( )A．1B．13C．6D．73．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a为( )A．B．2－C．－1D．＋14．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，求直线l的方程．5．点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|的最小值．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．预习交流1 (1)提示：仍然适用．①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，即y＝－，d＝＝，适合公式；②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－，d＝＝，适合公式；③当点P在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0，d＝＝0，适合公式．(2)提示：在应用点到直线的距离公式时，直线的方程必须是一般式．2．公垂线段预习交流2 (1)提示：求两条平行直线间的距离，就是求一直线上的任意一点到另一条直线的距离．(2)提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－C1．点P到直线l2的距离为d＝＝．这就是两条平行直线间的距离公式．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：先设出斜率，由点斜式写出直线方程，再由直线到A，B的距离相等求出斜率k，最后写出方程．解：方法一：由于点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，所以直线l的斜率存在，
设为k，又因为直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0．由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，得＝，解得k＝0或k＝1．∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0．方法二：当直线l过AB的中点时，直线l与点A，B等距离，∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，∴直线l的方程是x－y＋2＝0；当直线l∥AB时，直线l与点A，B等距离，∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0．故方程为y＝2．综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2．迁移与应用 1．2 3 22．解：显然直线x＝－1到原点的距离为1，所以所求直线的斜率是存在的．设所求直线的方程为y－2＝k(x＋1)，化成一般式为kx－y＋2＋k＝0．由题意得＝，解得k＝－1或－7．故适合题意的直线方程为y－2＝－(x＋1)或y－2＝－7(x＋1)，即x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0．活动与探究2 思路分析：设出斜率，用点斜式写出直线方程，再用两平行线间的距离公式求解．解：当l1，l2的斜率不存在时，即l1：x＝0，l2：x＝5时，满足条件．当l1，l2的斜率存在时，设l1：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，l2：y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，由两条平行直线间的距离公式得＝5，解得k＝．此时l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0．综上所述，l1，l2斜率不存在时，直线l1与l2的方程分别为x＝0，x＝5；l1，l2斜率存在时，直线l1与l2的方程分别为12x－5y＋5＝0,12x－5y－60＝0．迁移与应用 1．22．－3或13．解：∵所求直线与直线3x－4y－2＝0平行，∴设所求直线方程为3x－4y＋C＝0．由两平行直线间的距离公式得＝2，即|C＋2|＝10．∴C＝8或－12．∴所求直线方程为3x－4y＋8＝0或3x－4y－12＝0．活动与探究3 思路分析：可设出点M的坐标，利用点M到两直线的距离相等，求出点M的坐标，再用两点式写出直线的方程，也可先求出与l1，l2平行且等距离的直线方程，再与x＋y－3＝0联立求出M点的坐标，再由两点式写出直线方程．解：方法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，∴设点M坐标为(t,3－t)，则点M到l1，l2的距离相等，即＝，解得t＝，∴M．又l过点A(2,4)，由两点式得＝，即5x－y－6＝0，故直线l的方程为5x－y－6＝0．方法二：设与l1，l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式得＝，解得C＝0，即l3：x－y＝0．由题意得中点M在l3上，点M在x＋y－3＝0上．解方程组得∴M．又l过点A(2,4)，故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0．迁移与应用 1．解：设所求直线方程为x＋2y＋C＝0．由题意得＝1，即|C＋3|＝，∴C＝－3或C＝－－3．∴所求直线方程为x＋2y＋－3＝0或x＋2y－－3＝0．2．解：∵所求直线与直线x－y＋1＝0垂直，∴设所求直线方程为x＋y＋C＝0．则＝5，C＝±10．∴所求直线方程为x＋y＋10＝0或x＋y－10＝0．【当堂检测】1．C 2．B 3．C4．解：由题意，l∥l1∥l2，∴设直线l的方程为2x－y＋c＝0，则＝，即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，∴直线l的方程是2x－y＋1＝0．5．解：当OP与直线x＋y－4＝0垂直时，|OP|最小，∴|OP|的最小值就是原点O到直线x＋y－4＝0的距离，∴|OP|min＝＝2．
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