平行线间的距离专题基础训练(初中)

.2014年3月wxh的初中数学组卷. .2014年3月wxh的初中数学组卷 一．选择题（共2小题）1．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（  ） A．变大 B．变小 C．不变 D．变大变小要看点P向左还是向右移动 2．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为（  ） A．7：35B．7：34C．7：33D．7：32 二．填空题（共6小题）3．如图，已知点E、F分别在长方形ABCD的边AB、CD上，且AF∥CE，AB=3，AD=5，那么AE与CF的距离是 _________ ． 4．已知一点到两条平行线的距离分别是1cm，4cm，则这两条平行线之间距离是 _________ cm． 5．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 _________ ． 6．已知：a∥b∥c，a与b之间的距离为3cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离为 _________ ． . .7．如图，MN⊥AB，垂足为M点，MN交CD于N，过M点作MG⊥CD，垂足为G，EF过点N点，且EF∥AB，交MG于H点，其中线段GM的长度是 _________ 到 _________ 的距离，线段MN的长度是 _________ 到 _________ 的距离，又是 _________ 的距离，点N到直线MG的距离是 _________ ． 8．如图，a∥b，点P在直线a上，点A，B，C都在直线b上，PA⊥AC，且PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，则直线a，b间的距离为 _________ cm． 三．解答题（共8小题）9．如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°．（1）求∠EDC；（2）若BC=10，S△BCD=30，求点E到BC的距离． 10．如图，（1）过点P画直线PM平行于直线BC．（2）量出PM与BC的距离． 11．如图△ABC中，∠C=90°，按下列要求画图并填空：（1）取AB中点D，过点D画DE⊥AC，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F；（2）判断：DE与CF，EC与DF，ED与DF的位置关系分别为 _________ ；（3）判断：DE与CF，EC与DF的长度大小关系是 _________ ．. . 12．作图题：如图已知直线l和线段a，现在要作一条直线m，使l与m的距离为a，这样的直线一共可以作几条？请你作出一条（不写作法，保留作图痕迹）． 13．如图，长方形ABCD中，AB=6cm，长方形的面积为24cm2，求AB与CD之间的距离． 14．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 15．说理填空：如图，已知AB∥CD，GH平分∠AGM，MN平分∠CMG，请说明GH⊥MN的理由．解：因为AB∥CD（已知），所以∠AGF+ _________ =180°（ _________ ），因为GH平分∠AGF，MN平分∠CMG（ _________ ），所以∠1=∠AGF，∠2=∠CMG（ _________ ），得∠1+∠2=（∠AGF+∠CMG）= _________ ，所以GH⊥MN（ _________ ）．根据已知条件和所得结论请总结出一个规律： _________ ．. . 16．如图，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、G，MN平分∠EMB，GH平分∠MGD，求证：MN∥GH．证明：∵AB∥CD（已知）∴∠EMB=∠EGD（ _________ ）∵MN平分∠EMB，GH平分∠MGD（已知）∴∠1=∠EMB，∠2=∠MGD（ _________ ）∴∠1=∠2∴MN∥GH（ _________ ） . .2014年3月wxh的初中数学组卷参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题）1．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（  ） A．变大 B．变小 C．不变 D．变大变小要看点P向左还是向右移动考点：平行线之间的距离．1251739专题：动点型．分析：根据两平行线间的平行线段相等，可以推出点P在AB上运动时到CD的距离始终相等，再根据三角形PCD的面积等于CD与点P到CD的距离的积的一半，所以三角形的面积不变．解答：解：设平行线AB、CD间的距离为h，则S△PCD=CD•h，∵CD长度不变，h大小不变，∴三角形的面积不变．故选C．点评：. .本题主要考查两平行线间的平行线段相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 2．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为（  ） A．7：35B．7：34C．7：33D．7：32考点：平行线之间的距离；一元一次方程的应用．1251739专题：压轴题．分析：根据平行线的性质得出当两船距离最近，36x=18.9﹣27x，进而求出x即可得出答案即可．解答：解：设x分钟后两船距离最近，当如图EF⊥BD，AE=DF时，两船距离最近，根据题意得出：36x=18.9﹣27x，解得：x=0.3，0.3小时=0.3×60分钟=18（分钟），则两船距离最近时的时刻为：7：33．故选：C．点评：. .此题主要考查了平行线的之间的距离以及一元一次方程的应用，根据已知得出等式方程是解题关键． 二．填空题（共6小题）3．如图，已知点E、F分别在长方形ABCD的边AB、CD上，且AF∥CE，AB=3，AD=5，那么AE与CF的距离是 5 ．考点：平行线之间的距离．1251739专题：计算题．分析：先判定四边形AECF是平行四边形，再根据平行线间的距离的定义，以及长方形的性质，AE与CF的距离等于点A到CD的距离，也就是AD的长度．解答：解：长方形ABCD中，AB∥CD，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE与CF的距离为AD的长度，∵AD=5，∴AE与CF的距离是5．故答案为：5．点评：本题主要考查了平行线间的距离的定义，平行线间的距离等于一条平行线上任意一点到另一条平行线的垂线段的长度． 4．已知一点到两条平行线的距离分别是1cm，4cm，则这两条平行线之间距离是 3或5 cm．考点：平行线之间的距离．1251739专题：分类讨论．. .分析：由于点的位置不能确定，故应分点在平行线的一边或点在平行线之间两种情况进行讨论．解答：解：当如图1所示时，两平行线间的距离=4﹣1=3cm；当如图2所示时，两平行线间的距离=4+1=5cm．故答案为：3或5．点评：本题考查的是两平行线间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 5．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 10 ．考点：平行线之间的距离．1251739专题：探究型．分析：. .过点A作AF⊥BD于点F，由△ABD的面积为16可求出AF的长，再由AE∥BD可知AF为△ACE的高，由三角形的面积公式即可得出结论．解答：解：过点A作AF⊥BD于点F，∵△ABD的面积为16，BD=8，∴BD•AF=×8×AF=16，解得AF=4，∵AE∥BD，∴AF的长是△ACE的高，∴S△ACE=×AE×4=×5×4=10．故答案为：10．点评：本题考查的是平行线间的距离及三角形的面积公式，熟知两平行线间的距离相等是解答此题的关键． 6．已知：a∥b∥c，a与b之间的距离为3cm，b与c之间的距离为4cm，则a与c之间的距离为 7cm或1cm ．考点：平行线之间的距离．1251739分析：本题主要利用平行线之间的距离的定义作答．要分类讨论：①当b在a、c时；②c在b、a之间时．解答：解：①如图1，当b在a、c之间时，. .a与c之间距离为3+4=7（cm）；②如图2，c在b、a之间时，a与c之间距离为4﹣3=1（cm）；故答案是：7cm或1cm．点评：此题很简单，考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离． 7．如图，MN⊥AB，垂足为M点，MN交CD于N，过M点作MG⊥CD，垂足为G，EF过点N点，且EF∥AB，交MG于H点，其中线段GM的长度是 点M 到 直线CD 的距离，线段MN的长度是 点M 到 直线EF 的距离，又是 平行线AB、EF间 的距离，点N到直线MG的距离是 线段GN的长度 ．考点：平行线之间的距离．1251739分析：点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，根据这一定义结合图形进行填空即可．解答：解：线段GM的长度是点M到直线CD的距离；. .线段MN的长度是点M到直线EF的距离，又是平行线AB、EF间的距离；点N到直线MG的距离是线段GN的长度．点评：正确理解点到直线的距离的定义是解决此类问题的关键． 8．如图，a∥b，点P在直线a上，点A，B，C都在直线b上，PA⊥AC，且PA=2cm，PB=3cm，PC=4cm，则直线a，b间的距离为 2 cm．考点：平行线之间的距离．1251739专题：计算题．分析：根据平行线的距离的定义：平行线间的距离是夹在它们之间的垂线段的长作答．解答：解：∵a∥b，PA⊥AC，PA=2cm，∴直线a，b间的距离为2cm．点评：此题考查了两条平行线间距离的定义．解题的关键是熟记定义． 三．解答题（共8小题）9．如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°．（1）求∠EDC；（2）若BC=10，S△BCD=30，求点E到BC的距离．. .考点：平行线的性质；平行线之间的距离．1251739专题：计算题．分析：（1）根据两直线平行，同位角相等可以得到∠ABC=∠AED，又CD平分∠ACB，所以∠BCD的度数可以求出，再根据两直线平行，错角相等即可求出∠EDC的度数；（2）根据三角形的面积求出点D到BC边的距离，再根据平行线间的距离相等，点E到BC的距离就等于点D到边BC的距离．解答：解：（1）∵DE∥BC，∴∠AED=∠ACB=80°，∠EDC=∠DCB，∵DC平分∠ACB，∴∠ECD=∠DCB=∠EDC=40°；（2）∵BC=10，S△BCD=30，∴点D到BC的距离是6，∵DE∥BC，∴点D到BC的距离=点E到BC的距离，∴点E到BC的距离是6．点评：本题主要考查平行线的性质和两平行线间的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 10．如图，（1）过点P画直线PM平行于直线BC．（2）量出PM与BC的距离．考点：作图—基本作图；平行线之间的距离．1251739分析：（1）量出∠B的度数，再以P为顶点，AP为一边，画∠APM=∠B即可；（2）过P作PE⊥BC，再量出PE的长即可．解答：解：（1）如图所示：. .（2）PM与BC的距离是1.8cm．点评：此题主要考查了画图，以及平行线之间的距离，关键是掌握同为角相等时，两直线平行． 11．如图△ABC中，∠C=90°，按下列要求画图并填空：（1）取AB中点D，过点D画DE⊥AC，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F；（2）判断：DE与CF，EC与DF，ED与DF的位置关系分别为 平行，平行，垂直 ；（3）判断：DE与CF，EC与DF的长度大小关系是 相等 ．考点：作图—复杂作图；平行线的判定与性质；平行线之间的距离．1251739分析：（1）根据题意画出图形即可；（2）根据垂直可得∠C=∠AED=90°，根据平行线的判定可得ED∥CF；同理：EC∥DF；再根据四边形角和为360°可计算出∠EDF=90°，进而得到ED⊥DF；. .（3）根据∠DEC=90°，∠C=90°，∠DFC=90°，可得四边形EDFC是矩形，根据矩形的性质可得DE=CF，EC=DF．解答：解：（1）如图所示：（2）∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠AED，∴ED∥CF；同理：EC∥DF；∵∠DEC=90°，∠C=90°，∠DFC=90°，∴∠EDF=360°﹣90°﹣90°﹣90°=90°，∴ED⊥DF，故答案为：平行，平行，垂直；（3）DE=CF，EC=DF，∵∠DEC=90°，∠C=90°，∠DFC=90°，∴四边形EDFC是矩形，∴DE=CF，EC=DF．故答案为：相等．点评：此题主要考查了画图，平行线的判定，垂直定义，矩形的判定与性质，关键是掌握三个角为直角的四边形是矩形． 12．作图题：. .如图已知直线l和线段a，现在要作一条直线m，使l与m的距离为a，这样的直线一共可以作几条？请你作出一条（不写作法，保留作图痕迹）．考点：平行线之间的距离．1251739专题：作图题．分析：作线段a垂直于直线l，再过线段a的另一个端点作直线l的平行线m，直线m即为所求．解答：解：两条．如图所示：同理在l的另一侧还可以做一条，故一共可以作两条直线m．点评：本题考查了平行线之间的距离，属于作图题，关键是掌握平行线之间的距离相等． 13．如图，长方形ABCD中，AB=6cm，长方形的面积为24cm2，求AB与CD之间的距离．考点：平行线之间的距离．1251739分析：利用长方形的面积公式求出AD，再根据平行线间的距离的定义解答．. .解答：解：由题意得，AB•AD=24，∵AB=6cm，∴6•AD=24，解得AD=4cm，∴AB与CD之间的距离是4cm．点评：本题考查了平行线间的距离的定义，长方形的面积公式，是基础题，熟记概念与公式是解题的关键． 14．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．考点：平行线的判定与性质．1251739分析：（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；. .（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；（3）利用三角形外角定理、三角形角和定理求得∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．解答：解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°．又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴AB∥CD；（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；. .（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：如图3，∵∠1=∠2，∴∠3=2∠2．又∵GH⊥EG，∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2．∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2．∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK=∠EPK=45°+∠2．∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°，∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．点评：本题考查了平行线的判定与性质．解题过程中，注意“数形结合”数学思想的运用． 15．说理填空：如图，已知AB∥CD，GH平分∠AGM，MN平分∠CMG，请说明GH⊥MN的理由．解：因为AB∥CD（已知），所以∠AGF+ ∠CHE =180°（ 两直线平行，同旁角互补 ），因为GH平分∠AGF，MN平分∠CMG（ 已知 ），所以∠1=∠AGF，∠2=∠CMG（ 角平分线的定义 ），得∠1+∠2=（∠AGF+∠CMG）= 90° ，所以GH⊥MN（ 垂直的定义 ）．根据已知条件和所得结论请总结出一个规律： 两直线平行，同旁角的角平分线互相垂直 ．. .考点：平行线的性质．1251739专题：推理填空题．分析：由两直线平行，同旁角互补，可得∠AGF+∠CHE=180°，又由角平分线的定义，即可求得∠1+∠2=（∠AGF+∠CMG）=90°，继而证得GH⊥MN．则可得规律：两直线平行，同旁角的角平分线互相垂直．解答：解：∵AB∥CD（已知），∴∠AGF+∠CHE=180°（两直线平行，同旁角互补），∵GH平分∠AGF，MN平分∠CMG（已知），∴∠1=∠AGF，∠2=∠CMG（角平分线的定义），得∠1+∠2=（∠AGF+∠CMG）=90°，∴GH⊥MN（垂直的定义）．根据已知条件和所得结论请总结出一个规律：两直线平行，同旁角的角平分线互相垂直．故答案为：∠CHE；两直线平行，同旁角互补；已知；角平分线的定义；90°；垂直的定义；两直线平行，同旁角的角平分线互相垂直．点评：此题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及垂直的定义．此题难度不大，注意数形结合思想的应用． 16．如图，直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、G，MN平分∠EMB，GH平分∠MGD，求证：MN∥GH．证明：∵AB∥CD（已知）∴∠EMB=∠EGD（ 两直线平行，同位角相等 ）∵MN平分∠EMB，GH平分∠MGD（已知）∴∠1=∠EMB，∠2=∠MGD（ 角平分线的定义 ）∴∠1=∠2∴MN∥GH（ 同位角相等，两直线平行 ）考点：平行线的判定与性质．1251739专题：推理填空题．分析：. .由AB∥CD，得出∠EMB=∠EGD，则这两个角的一半也相等，即∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行可判断MN∥GH．解答：证明：∵AB∥CD（已知）∴∠EMB=∠EGD（两直线平行，同位角相等）∵MN平分∠EMB，GH平分∠MGD（已知）∴∠1=∠EMB，∠2=∠MGD（角平分线的定义）∴∠1=∠2∴MN∥GH（同位角相等，两直线平行）故答案为：两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；同位角相等，两直线平行．点评：本题考查了平行线的判定与性质．关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用． .