高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 课时作业

3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离A级 基础巩固一、选择题1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于( C )A．3   B．7   C．   D．[解析] 在3x＋4y－2＝0上取一点(0，)，其到6x＋8y－5＝0的距离即为两平行线间的距离，d＝＝.2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC边的距离为( B )A．   B．   C．   D．4[解析] BC边所在直线的方程为＝，即x＋y＋1＝0；则d＝＝.3．若点A(－3，－4)、B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( C )A．   B．－C．－或－   D．或[解析] 由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( C )A．(1,2)   B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)   D．(2,1)或(－1,2) [解析] 设点P的坐标为(x0，y0)，则有，解得或.5．已知点A(1,3)、B(3,1)、C(－1,0)，则△ABC的面积等于( C )A．3   B．4   C．5   D．6[解析] 设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5.6．直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为，则直线l的方程是( A )A．x＋y－＝0   B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0   D．x＋y＋＝0[解析] 方法1：因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又l在y轴上截距为，所以所求直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－＝0.方法2：将直线y＝x＋1化为一般式x－y＋1＝0，因为直线l垂直于直线y＝x＋1，可以设直线l的方程为x＋y＋c＝0，令x＝0，得y＝－c，又直线l在y轴上截距为，所以－c＝，即c＝－，所以直线l的方程为x＋y－＝0.二、填空题7．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则l1与l2间的距离为或.[解析] ∵l1∥l2，∴，解得k＝3或k＝5.当k＝3时，l1：y＝－1，l2：y＝，此时l1与l2间的距离为；当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，此时l1与l2间的距离为＝.8．过点A(－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是3x－y＋10＝0.[解析] 当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大．∵kOA＝－，∴所求直线的方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0. 三、解答题9．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0.求m的值，使它分别满足以下条件：(1)l1，l2，l3交于同一点；(2)l1，l2，l3不能围成三角形．[解析] (1)由4x＋y－4＝0得y＝－4x＋4代入l2，l3的方程中分别得x1＝，x2＝，由＝，解得m＝－1或，经检验都符合题意．(2)首先由(1)知，当m＝－1或时，不能围成三角形；又kl1＝－4，kl2＝－m，kl3＝，若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；由于kl2与kl3异号，显然l2与l3不平行．综上知，m＝－1，－，或4.B级 素养提升一、选择题1．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为( C )A．   B．   C．3   D．6[解析] |PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.2．(2019·潍坊高一检测)与直线l：3x－4y－1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是( A )A．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0B．3x－4y－11＝0C．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0D．3x－4y＋9＝0[解析] 设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由题意得＝2，解得m＝9或－11.3．到两条直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：5x－12y＋13＝0的距离相等的点P(x，y )必定满足方程( D )A．x－4y＋4＝0B．7x＋4y＝0C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0[解析] 结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得＝，即＝±，化简得7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0.4．(2018·高一期末)两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为( D )A．4   B．C．   D．[解析] ∵直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，∴＝≠，解得m＝2.因此，两条直线分别为3x＋y－3＝0与6x＋2y＋1＝0，即6x＋2y－6＝0与6x＋2y＋1＝0.∴两条直线之间的距离为d＝＝＝.二、填空题5．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是8.[解析] x2＋y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，∵原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，∴x2＋y2最小值为8.6．(2018·江西省赣州市高一期末)过点A(1,2)且与点P(3,2)距离最大的直线方程是x＝1.[解析]  如右图，当过点A的直线恰好与直线AP垂直时，所求直线与点P的距离最大，故所求直线方程为x＝1.7．(2018·湖南省长沙市岳麓区高三模拟)已知a＋b＝3，则的最小值为3.[解析] 由题意易得点P(a，b)在直线x＋y－3＝0上，而＝，因此原问题可以转化为求点P(a，b)与点A(－5,2)的距离的最小值，又点A(－5,2)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝3，故的最小值为3.三、解答题8．(2018·高一期末)已知△ABC三边所在直线方程：lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0(m∈R，m≠30)．(1)判断△ABC的形状；(2)当BC边上的高为1时，求m的值．[解析] (1)直线AB的斜率为kAB＝，直线AC的斜率为kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以直线AB与AC互相垂直，因此，△ABC为直角三角形．(2)解方程组，得，即A(2,6)．由点到直线的距离公式得d＝＝，当d＝1时，＝1，即|30－m|＝5，解得m＝25或m＝35.9．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．[解析] 解法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，∴设点M坐标为(t,3－t)，则点M到l1、l2的距离相等，即＝，解得t＝，∴M.又l过点A(2,4)， 由两点式得＝，即5x－y－6＝0，故直线l的方程为5x－y－6＝0.解法二：设与l1、l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋c＝0，由两平行直线间的距离公式得＝，解得c＝0，即l3：x－y＝0.由题意得中点M在l3上，又点M在x＋y－3＝0上．解方程组，得.∴M.又l过点A(2,4)，故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0.解法三：由题意知直线l的斜率必存在，设l：y－4＝k(x－2)，由，得，由，得.∴直线l与l1、l2的交点分别为，.∵M为中点，∴M.又点M在直线x＋y－3＝0上，∴＋－3＝0，解得k＝5.故所求直线l的方程为y－4＝5(x－2)，即5x－y－6＝0.