第2课时 点到直线的距离、两条平行线间的距离[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P106～P109，回答下列问题：(1)如何用代数方法求点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离？提示：由P0Q⊥l，以及直线l的斜率为－，可得l的垂线P0Q的斜率为，因此，垂线P0Q的方程可求出．解垂线P0Q与直线l的方程组成的方程组，得点Q的坐标，用两点间距离公式求出|P0Q|，即为点P0到直线l的距离．(2)能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可．2．归纳总结，核心必记(1)点到直线的距离①概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．②公式：点P(x0，y0)到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离，d＝.(2)两平行直线间的距离①概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．②公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.[问题思考]1．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．2．在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)点到直线的距离公式是什么？应注意什么？ ；(2)两平行直线间的距离公式是什么？应注意什么？ .在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.[思考1] 若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？名师指津：过点P作直线l′⊥l，垂足为Q，|PQ|即为所求的距离．直线l的斜率为k，则l′的斜率为－，∴l′的方程为y－y0＝－(x－x0)，联立l，l′的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|.[思考2] 在直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离是不是过点P到直线l的垂线段的长度？提示：是．[思考3] 应用点到直线的距离公式应注意什么问题？名师指津：(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系．(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离．
①P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；②P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.讲一讲1．(1)在平面直角坐标系xOy中，点P(2,2)到直线4x＋3y＋5＝0的距离为________．(链接教材P107－例5)(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程．[尝试解答] (1)由点到直线的距离公式可得d＝＝.(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：d＝＝＝.所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.[答案] (1)点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．练一练1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l:x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( )A.B．2－C.－1D.＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知，d＝＝＝1，得a＝－1±.又∵a＞0，∴a＝－1.
2．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．解析：点P到直线l的距离d＝＝＝3.答案：3 观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：[思考1] 若过P(x0，y0)的直线l′与l:Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到l的距离与l′与l的距离相等吗？提示：相等．[思考2] 怎样理解两平行直线间的距离公式？名师指津：(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．(2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.讲一讲2．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．[尝试解答] 由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝，d2＝，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.
求两平行直线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．练一练3．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于( )A．3B．7C.D.解析：选C 在3x＋4y－2＝0上取一点，其到6x＋8y－5＝0的距离即为两平行线间的距离，d＝＝. 讲一讲3．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时两条直线的方程．[思路点拨] (1)由两平行线间的距离公式写出d与斜率之间的函数关系式，不难求出d的范围或利用数形结合求d的范围．(2)求出d取最大值时斜率的值，即可求出所求直线方程．[尝试解答] (1)法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9.②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x
＋3)，即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0，∴d＝＝，即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.∵k∈R，且d≠9，d＞0，∴Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，即0＜d≤3且d≠9.综合①②可知，所求d的变化范围为(0,3]．法二：如图所示，显然有0＜d≤|AB|.而|AB|＝＝3.故所求的d的变化范围为(0,3]．(2)由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB.而kAB＝＝，∴所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．练一练4．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解：(1)法一：联立⇒交点P(2,1)，
当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，∴＝3，解得k＝，∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0.而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或，∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.(2)由解得交点P(2,1)，过P任意作直线l，设d为A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，∴dmax＝|PA|＝.—————————[课堂归纳·感悟提升]———————————1．本节课的重点是掌握点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离．难点是能用公式求点到直线的距离．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)点到直线的距离的求解方法，见讲1.(2)求两平行直线间的距离有两种思路，见讲2.(3)待定系数法求解有关距离问题的方法，见讲33．本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式，如讲2.
课下能力提升(二十一)[学业水平达标练]题组1 点到直线的距离1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )A．3B.C．3D.解析：选D 点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝.2．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )A．7B．5C．3D．2解析：选A 直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.3．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．解析：因为直线斜率为tan60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5⇒|b|＝10.所以b＝±10，所以所求直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.答案：x－y＋10＝0或x－y－10＝04．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．解析：∵＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3，或k＝.答案：－3或题组2 两条平行线间的距离5．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )A．1B.C.D．2解析：选B 在l1上取一点(1，－2)，则点到直线l2的距离为＝.6．两平行线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离d满足的条件是( )A．0＜d≤5B．0＜d≤13C．0＜d＜12D．5≤d≤12解析：选B 当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，|AB|＝13，所以0＜d≤13.7．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，由点到直线的距离公式得＝3，即＝3，解得C＝1或C＝－29，故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.题组3 距离的综合应用8．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )A．3x－y－13＝0B．3x－y＋13＝0C．3x＋y－13＝0D．3x＋y＋13＝0解析：选C 由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.9．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.由两点间距离公式得|BC|＝＝2.设点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，d＝＝，所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，即△ABC的面积为4.[能力提升综合练]1．(2016·济宁高一检测)两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于( )A.B.C.D.解析：选C l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝＝
.2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( )A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0解析：选B 设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.3．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )A．3x－2y－6＝0B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0解析：选D 法一：设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知＝.∴C＝－6(舍)或C＝8.故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.法二：令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，－1)的对称点为(2－x0，－2－y0)，此点在直线2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.4．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是__________．解析：由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.答案：x－2y＋2＝05．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是____________________．解析：法一：由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0.法二：由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，则c＝＝1.则直线l的方程为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0
6．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．解：点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝.∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.点P(1,5)到lAB的距离也等于d，则＝.又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，＝，n＝5，或n＝－1，则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.7．已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x＝2符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.根据题意，得＝2，解得k＝.则直线方程为3x－4y－10＝0.故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线．则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.最大距离为，(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为，而6＞，故不存在这样的直线.
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