3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离一、点到直线的距离1．点到直线的距离点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的.2．点到直线的距离公式平面上任意一点到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离为.3．点到直线的距离公式的推导如图，设，则直线l与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线的方程为,R的坐标为;直线的方程为,S的坐标为,于是有,,.设,由三角形面积公式可得,于是得.因此，点到直线l:Ax+By+C=0的距离.13
可以验证，当A=0,或B=0时，上述公式也成立.二、两条平行直线间的距离1．两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的长.2．两条平行直线间的距离公式一般地，两条平行直线(其中A与B不同时为0，且)间的距离.3．两条平行直线间的距离公式的推导对于两条平行直线(其中A与B不同时为0，且).在直线上任取一点,则点到的距离即为与之间的距离，则.∵点在直线上，∴,即.∴两条平行直线,(其中A与B不同时为0，且)之间的距离为.三、直线关于直线对称（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l,且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）.充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法.（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0,①l关于x轴对称的直线是;②l关于y轴对称的直线是;③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0;④l关于直线y=−x对称的直线是A(−y)+B(−x)+C=0.13
K知识参考答案：一、1．最小值2．二、1．公垂线段2．三、Ax+B(−y)+C=0A(−x)+By+C=0K—重点点到直线的距离公式，两条平行直线间的距离公式K—难点对称问题，点、线间距离公式的综合应用K—易错计算出错或求直线方程时忽略斜率不存在的情形致错1．点到直线的距离问题（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．（2）对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或.（3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．【例1】点到直线的距离为4，则A．1B．C．D．【答案】D【解析】由点到直线的距离公式得，，解得k=或k=-3.故选D.【例2】已知直线l经过点，则13
（1）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且的面积为4，求直线l的方程；（2）若直线l与原点的距离为2，求直线l的方程.【解析】（1）设直线l的方程为，则点，由题意得，解得，所以直线l的方程为，即.（2）过P点的直线l与原点的距离为2，而P点坐标为，则过垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在,其方程为.若斜率存在,设l的方程为,即.由已知过P点的直线与原点的距离为2,得,解得.此时l的方程为.综上,可得直线l的方程为或.2．两条平行直线间的距离问题解决两条平行直线间的距离问题的方法：（1）转化为点到直线的距离，其体现了化归与转化的数学思想．（2）直接套用公式，其中,，需注意此时直线与的方程为一般式且x，y的系数分别相同．【例3】若直线：与直线：平行，则与的距离为A．B．C．D．【答案】B【解析】由两直线平行的等价条件可得，在直线：上取点13
，由于点到直线：的距离即为两平行线之间的距离，所以应选B.【例4】已知直线l与直线l1：3x−y＋3=0和l2：3x−y−1=0的距离相等，则l的方程是__________________．【答案】3x−y＋1=03．对称问题一般将“关于直线对称的两条直线”的问题转化为“关于直线对称的两点”的问题加以解决.（1）若已知直线与已知对称轴相交，则交点必在与直线对称的直线上，然后求出直线上任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线的方程；（2）若已知直线与已知对称轴平行，则直线关于对称轴对称的直线与直线平行，可以利用直线与对称轴间的距离等于直线与对称轴间的距离求解.【例5】已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标;(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.【解析】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').∵kPP'·kl=-1,∴·3=-1, ①又PP'的中点在直线3x-y+3=0上,∴3·-+3=0. ②联立①②,解得.13
(1)把x=4,y=5代入③④,得x'=-2,y'=7,∴P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l对称的直线方程为,即7x+y+22=0.4．点、线间距离公式的综合应用利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法，数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题.【例6】已知正方形ABCD的一边CD所在直线的方程为x＋3y−13=0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．所以，正方形ABCD其他三边所在直线的方程为x＋3y−19=0,3x−y＋5=0,3x−y−1=0.5．求直线方程时忽略斜率不存在的情形致错【例7】已知直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为.【错解】由题意设直线l的方程为y−2=k(x−1)，即kx−y−k+2=0.因为原点到直线l的距离为1，所以，解得.所以所求直线l的方程为，即3x−4y+5=0.【错因分析】符合题意的直线有两条，错解中忽略了斜率不存在的情况，从而只得到了一条直线.【正解】①当直线l过点A(1，2)且斜率不存在时，直线l的方程为x=1，原点到直线l的距离为1，满足题意.13
②当直线l过点A(1，2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y−2=k(x−1)，即kx−y−k+2=0.因为原点到直线l的距离为1，所以，解得.所以所求直线l的方程为，即3x−4y+5=0.综上所述，所求直线l的方程为x=1或3x−4y+5=0.【误区警示】当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误.1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为A．B．C．D．2．两平行直线与之间的距离是A．B．C．2D．13．若点P(3，a)到直线的距离为1，则a的值为A．B．C．或D．或4．到直线的距离为2的直线方程为A．B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝013
C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝05．过点A(1,2)且与点P(3,2)距离最大的直线方程是A．x＋2y＋1＝0B．2x－y－1＝0C．y＝1D．x＝16．直线关于直线x=1对称的直线方程是A．B．C．D．7．已知直线，直线，直线，且直线与直线，分别交于，，则A．B．C．D．8．已知直线，，且两直线间的距离为，则a＝__________.9．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为__________．10．已知直线，，.（1）若点在上，且到直线的距离为，求点P的坐标；（2）若//，求与间的距离.11．已知直线l经过点P(−2,5)，且斜率为.（1）求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．13
12．求经过两直线与的交点M,且与直线平行的直线l2的方程,并求l1与l2间的距离.13．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，则它们之间的距离d满足的条件是A．0
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