2021-2022学年高二数学题型解读练14 两条平行直线间距离（解析版）

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一）专题14两条平行直线间距离题型一求平行线间的距离1．若直线与直线平行，则它们之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线与直线平行，则，且，求得，两直线即为直线与直线，它们之间的距离为，故选：C．2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，又l2：9x＋12y－10＝0，所以，由平行线间的距离公式得，两条平行线间的距离d＝＝.故选：C.3．已知直线，．（Ⅰ）若，求，间的距离；（Ⅱ）求证：直线必过第三象限．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）若，直线，，则有，求得，故直线即：，故，间的距离为．（Ⅱ）证明：直线，即，必经过直线和直线的交点，而点在第三象限，直线必过第三象限． 4．如图，已知直线与直线，在上任取一点A，在上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过点C作的平行线，求与间的距离．【答案】【解析】过A做于D，交于E，如图所示：因为，且由题意得，所以，所以，又直线与间的距离，所以求与间的距离.题型二由距离求已知直线的平行线5．若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为（）A．－1B．19C．－1或19D．1或－19【答案】C【解析】由两平行线间的距离公式得，d＝＝，所以|c－9|＝10，得c＝－1或c＝19．故选：C. 6．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（）A．B．或C．D．或【答案】C【解析】∵，∴，解得或当时，当时故选：C7．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为，则l1的方程为________．【答案】x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0【解析】设l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得＝，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0题型三求关于平行直线对称的直线8．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(  )A．3B．2C．3D．4【答案】A【解析】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.故选：A.9．如图，矩形中边与轴重合，，.从原点射出的光线经反射到上，再经反射到上点处. ①若的斜率为，则点的纵坐标为__________；②若点恰为线段中点，则的斜率为__________．【答案】【解析】设直线的斜率为，的坐标为,直线的斜率为，故直线的方程，与直线的交点为，故的坐标为，直线的斜率为，直线的方程为，故坐标为．若的斜率为，则点的纵坐标为；若点恰为线段中点，则的斜率为．10．已知直线与.（1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离；（2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）因为、两点分别在直线、上运动，所以的中点的轨迹为与、平行且在它们中间的直线，设其方程为，、与y轴的交点分别为、，两点的中点为，且中点在直线，所以，所以， 的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离，为.（2）过点且与x轴垂直的直线方程为，与、的交点为和，两点之间的距离为不符合题意，所以设的斜率为，直线方程为，由直线与即，交点为为，由直线与即，交点为所以两交点之间的距离为，解得，或，所求直线方程为，或，即或.题型四求直线关于点的对称直线11．已知直线与关于点对称，则______.【答案】【解析】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为.点在直线上，，解得，.故答案为：12．直线关于点A(1,2)的对称直线方程为_________________【答案】【解析】解：在所求直线上取点，关于点A(1,2)对称的点的坐标为，代入直线，可得即.故答案为：.3．已知直线l：x＋2y－2＝0. （1）求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．【答案】（1）7x－y－14＝0；（2）x＋2y－4＝0.【解析】（1）由解得交点P(2,0)．在l1上取点M(0，－2)，M关于l的对称点设为N(a，b)，则,解得，所以，又直线l2过点P(2,0)，所以直线l2的方程为7x－y－14＝0.（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，所以,所以m＝－4，即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.12．已知直线，点.求：(1)直线关于直线的对称直线的方程；(2)直线关于点对称的直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】解：（1)在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上.设对称点为，则解得.设与的交点为,则由得.又∵经过点， ∴由两点式得直线的方程为.(2)设为上任意一点，则关于点的对称点为.∵在直线上，∴，即.题型五将军饮马问题求最值13．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（）A．B．C．4D．5【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图所示：设点关于直线的对称点，连接，则即为的最小值，且.故选：.14．已知直线，点，和分别是直线和轴上的点，求的周长最小值及此时点和的坐标.【答案】8；点，点.【解析】解：设点关于直线的对称点为，，则由，且的中点在直线l上，即，解得点，；又点关于轴的对称点为， 连接，分别交直线l与x轴于M，N，结合图象可知，此时的周长最小，最小值为.过点，和的直线的斜率为，，化简为，即直线的方程为，由，解得，由，解得，，综上，的周长最小值为，此时点，点.15．已知直线的方程为．（1）当时，求直线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）证明：不论取何值，直线恒过第四象限．（3）当时，求直线上的动点到定点，距离之和的最小值．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）当时，直线的方程为，令，得；令，得，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为．（2）证明：将直线的方程整理得，由，得， 所以直线恒过点，所以不论取何值，直线恒过第四象限．（3）当时，直线的方程为，定点，在直线的同一侧，其中关于直线的对称点为，则，所以动点到定点，距离之和为，所以当，，三点共线时，最小，此时．16．已知直线及两点A(-2,3)、B(1,6),点P在直线上.(1)若点P到A、B两点的距离相等,求点P的坐标；(2)求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】(1)因为点P在直线上,所以点P的坐标设为.因为点P到A、B两点的距离相等,所以两边平方化简得：,所以点P的坐标为；(2)直线的斜率为2,所以过点B(1,6)与直线垂直的直线的斜率为,所以直线的直线方程为：,直线的交点C坐标为：,设点B关于直线对称的点,因此有,由平面几何的性质可知：的最小值就是的长度,即.题型六直线关于直线对称问题17．直线关于直线对称的直线方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为直线的斜率为1, 故有,将其代入直线,即得：,整理即得,故选：A18．已知直线，与关于直线对称，直线，则的斜率是______.【答案】-2【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为.∵与关于直线对称，∴，即,∴.又∵，∴.故答案为19．直线y=x关于直线x＝1对称的直线方程是________；【答案】【解析】由题得对称的直线的斜率为，解方程组得两直线的交点为，所以对称直线的方程为.故答案为