高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.3点到直线的距离 课时检测

课时跟踪检测（二十一）点到直线的距离、两条平行线间的距离一、题组对点训练对点练一 点到直线的距离1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(  )A．7         B．5C．3D．2解析：选A 直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.2．已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(  )A．－3B．3C．－3或3D．1或3解析：选C 由题意得＝，解得a＝－3或3.3．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．解析：因为直线斜率为tan60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5⇒|b|＝10.所以b＝±10，所以所求直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.答案：x－y＋10＝0或x－y－10＝04．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为________．解析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.答案：3对点练二 两条平行线间的距离5．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(  )A．1B.C.D．2解析：选B 在l1上取一点(1，－2)，则点到直线l2的距离为＝. 6．两平行线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离d满足的条件是(  )A．0＜d≤5B．0＜d≤13C．0＜d＜12D．5≤d≤12解析：选B 当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，|AB|＝13，所以0＜d≤13.7．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，由点到直线的距离公式得＝3，即＝3，解得C＝1或C＝－29，故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.对点练三 距离的综合应用8．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为(  )A．3x－y－13＝0B．3x－y＋13＝0C．3x＋y－13＝0D．3x＋y＋13＝0解析：选C 由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.9．已知直线l过点P(0,1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分．(1)求直线l的方程；(2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．解：(1)∵点B在直线l1上，∴可设B(a,8－2a)．又P(0,1)是AB的中点，∴A(－a,2a－6)．∵点A在直线l2上，∴－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即B(4,0)．故直线l的方程是x＋4y－4＝0.(2)由(1)，知A(－4,2)． 又AD∥l1，∴kAD＝＝－2，∴m＝－6.点A到直线l1的距离d＝＝，|AD|＝＝4，∴S△ABD＝|AD|·d＝×4×＝28.二、综合过关训练1．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(  )A.B.C.D.解析：选C l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝＝.2．若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离分别为1和2，则这样的直线l共有(  )A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C ①若直线l的斜率不存在，取直线l：x＝2，满足条件．②若直线l的斜率存在，当A，B两点在直线l的两侧时，易知直线l不存在．当A，B两点在直线l的同侧时，设直线l的方程为y＝kx＋b，由题意可得解得或可得直线l：y＝x＋或y＝－x－.综上，满足条件的直线l共有3条．故选C.3．已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(  )A．(0，＋∞)B．[0,5]C．(0,5]D．[0，]解析：选C 当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0＜d≤5.4．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是__________． 解析：由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.答案：x－2y＋2＝05．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是____________________．解析：法一：由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0.法二：由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，则c＝＝1.则直线l的方程为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝06．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．解：点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝.∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.点P(1,5)到lAB的距离也等于d，则＝.又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，＝，n＝5，或n＝－1，则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.所以正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.7．已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x＝2符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.根据题意，得＝2，解得k＝.则直线方程为3x－4y－10＝0.故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线．则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.最大距离为，(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为，而6＞，故不存在这样的直线．