第24课时 点到直线的距离、两条平行直线间的距离 课时目标1.掌握点到直线的距离公式，并能熟练应用该公式解决问题．2．理解两平行直线距离公式并能用于解题． 识记强化1．点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.2．两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长．两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离．若直线l1∥l2，l1的方程为Ax＋By＋C1＝0，l2的方程为Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为d＝. 课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是( )A. B.C.D.答案：D解析：由点到直线的距离公式得距离d＝＝.2．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )A．0B.C．3D．0或答案：D解析：点M到直线l的距离d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝，选D.3．直线－＝1和直线y＝x＋1的距离为( )A.B.C.D.答案：B
解析：在直线上取点(4,0)，再求(4,0)到直线y＝x＋1的距离．4．已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．3B.C.D.答案：B解析：由于所给的两条直线平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距离．由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，即|PQ|的最小值为.5．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是( )A．(5，－3)B．(9,0)C．(1，－6)D．(0，－)答案：A解析：由数形结合可知直线上的点与点P的连线应与直线垂直，解方程l即可．6．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点距离为1的直线的条数为( )A．0B．1C．2D．3答案：C解析：设满足题意的直线的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，∵原点到直线的距离d＝＝1，∴λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，即符合题意的直线的条数为2.二、填空题(每个5分，共15分)7．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________．答案：2x－y＋1＝0解析：方法一：由题意可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.方法二：由题意直线l介于直线l1与l2中间，设直线l的方程为2x－y＋c＝0，则c＝＝1.∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.8．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则l1与l2间的距离为________．答案：或解析：∵l1∥l2，∴，解得k＝3或k＝5.当k＝3时，l1：y＝－1，l2：y＝，此时l1与l2间的距离为；当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，此时l1与l2间的距离为
＝.9．已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P，使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是________(填序号)．①y＝x＋1；②y＝2；③4x－3y＝0；④2x－y＋1＝0.答案：②③解析：①直线为y＝x＋1，点M到该直线的距离d＝＝3＞4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故①不是点M的“相关直线”．②直线为y＝2，点M到该直线的距离d＝|0－2|＝2＜4，所以点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故②是点M的“相关直线”．③直线为4x－3y＝0，所以点M到该直线的距离d＝＝4，于是点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4成立，故③是点M的“相关直线”．④直线为2x－y＋1＝0，所以点M到该直线的距离d＝＝＞4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4成立，故④不是点M的“相关直线”．三、解答题10．(12分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1、l2的方程．解：设直线l1，l2的斜率存在且为k.由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.因为点A(0,1)到直线l2的距离d＝＝5，所以25k2＋10k＋1＝25k2＋25，所以k＝.所以l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，满足题意．故满足条件的直线方程有以下两组：和11．(13分)过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴的正半轴于点A，B，若四边形OAMB被直线AB平分，求直线AB的方程．解：设直线AB的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，∴A(a,0)，B(0，b)．∵MA⊥MB，∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0，即a＝10－2b.∵a＞0，b＞0，∴0＜b＜5,0＜a＜10.∵直线AB的一般式方程为bx＋ay－ab＝0，
∴点M到直线AB的距离d＝.∴△MAB的面积S1＝d|AB|＝|2b＋4a－ab|＝|b2－8b＋20|＝b2－8b＋20，△OAB的面积S2＝ab＝5b－b2.∵直线AB平分四边形OAMB，∴S1＝S2，可得2b2－13b＋20＝0，解得或.∴所求直线AB的方程为x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0.
能力提升12．(5分)已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线是“切割型直线”的是( )①y＝x＋1 ②y＝2 ③y＝x ④y＝2x＋1A．①③B．①②C．②③D．③④答案：C解析：根据题意，看所给直线上的点到定点M的距离能否取4.可通过求各直线上的点到M的最小距离，即点M到直线的距离来分析．①d＝＝3>4，故直线上不存在到M距离等于4的点，不是“切割型直线”；②d＝24，故直线上不存在到M距离等于4的点，不是“切割型直线”，故选C.13．(15分)已知点P(2，－1)，求：(1)过点P且与原点的距离为2的直线方程；(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值；(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)当斜率不存在时，方程x＝2适合题意．当直线的斜率存在时，设为k，则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.根据题意＝2，解得k＝.∴直线方程为3x－4y－10＝0.∴符合题意的直线方程应为x－2＝0或3x－4y－10＝0.(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程应为过点P且与OP垂直的直线．易求其方程为2x－y－5＝0，且最大距离d＝.(3)不存在．由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为，而6＞，故不存在这样的直线．
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