高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 同步训练

2.3.2 两点间的距离公式2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为(  )            A.1B.-5C.1或-5D.-1或5解析由|AB|=(a+2)2+(3+1)2=5,得(a+2)2=9,解得a=1或-5.答案C2.已知两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为(  )A.4B.21313C.51326D.71020解析∵直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,∴63=m1≠1-3,解得m=2.∴两条直线方程分别为3x+y-3=0与6x+2y+1=0,即6x+2y-6=0与6x+2y+1=0.∴两条直线之间的距离为d=|-6-1|62+22=71020.答案D3.(多选题)已知点A(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为55,则点A的坐标可以是(  )A.(0,-2)B.(2,4) C.(0,2)D.(1,1)解析直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得|2(1+t)-(1+3t)-1|22+1=55,整理得|t|=1,所以t=1或t=-1.当t=1时,点A的坐标为(2,4);当t=-1时,点A的坐标为(0,-2).综上,点A的坐标为(0,-2)或(2,4),故选AB.答案AB4.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(  )A.3x-y-8=0B.3x+y+4=0C.3x-y+6=0D.3x+y+2=0解析设P(x,y),则(x-1)2+(y-3)2=(x+5)2+(y-1)2,即3x+y+4=0.答案B5.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是(  )A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解析(方法1)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知|2-3-6|22+32=|2-3+C|22+32,解得C=-6(舍去)或C=8.故所求直线的方程为2x+3y+8=0.(方法2)令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点为(2-x0,-2-y0),此点在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线方程为2x+3y+8=0.答案D6.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B经过的距离为(  )A.52B.25C.510D.105解析点B(2,10)关于x轴的对称点为B'(2,-10),由对称性可得光线从A到B经过的距离为|AB'|=(-3-2)2+[5-(-10)]2=510.选C.答案C7.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有    条.  解析显然x=1过点(1,3)且与原点的距离为1;再设直线方程为y-3=k(x-1),由|-k+3|1+k2=1得,k=43,所以直线方程为4x-3y+2=0,因此满足条件的直线有两条.答案28.两平行直线l1:ax+4y=0,l2:3x+4y+m=0,若两直线之间的距离为1,则m=      . 解析根据两平行直线之间的距离公式,得|m|25=1,解得m=±5.答案±59.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.解(方法1)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,∴直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,得|k-1+2|k2+1=|-3k-1+2|k2+1,解得k=0或k=1.∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.(方法2)当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等.∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),∴直线l的方程是x-y+2=0.当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等.∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,∴直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.10.已知△ABC三边所在直线方程:lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(m∈R,m≠30).(1)判断△ABC的形状;(2)当BC边上的高为1时,求m的值.解(1)因为直线AB的斜率为kAB=32,直线AC的斜率为kAC=-23, 所以kAB·kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此△ABC为直角三角形.(2)解方程组3x-2y+6=0,2x+3y-22=0,得x=2,y=6,即A(2,6).由点到直线的距离公式得d=|3×2+4×6-m|32+42=|30-m|5.当d=1时,|30-m|5=1,|30-m|=5,解得m=25或m=35.所以m的值为25或35.关键能力提升练11.已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是(  )A.10B.355C.6D.35解析由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2).∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,∴y=1-2x,∴|MP|=(x-1)2+(1-2x-2)2=5x2+2x+2=5(x+15) 2+95,故当x=-15时,|MP|取得最小值355.故选B.答案B12.过点A(1,2),且与原点O距离最大的直线的方程是(  )A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=0解析根据题意得,所求直线与直线OA垂直,因为直线OA的斜率为2, 所以所求直线的斜率为-12.所以由点斜式方程得y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.答案A13.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(  )A.32B.23C.33D.42解析由题意知,直线l1与l2平行,所以点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则|c+7|2=|c+5|2,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即|-6|2=32.答案A14.已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B32,12,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为(  )A.1302B.13+322C.13D.32解析(方法1)如图1,由平行线间的距离公式得|PQ|=322.图1 设点P(a,-a-2),点Qa+32,-a-12.则|AP|+|PQ|+|QB|=(a+3)2+(-a+1)2+322+a2+(-a-1)2=(a+3)2+(a-1)2+322+a2+(a+1)2.设点M(a,a),C(1,-3),D(-1,0),如图2,则(a+3)2+(a-1)2+a2+(a+1)2=|MC|+|MD|≥|CD|=13.图2故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为322+13.(方法2)如图3,由平行线间的距离公式得|PQ|=322.图3过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|.则有PQ?AA'.设点A'(x0,y0),则x0=-3+322×22=-32,y0=-3+322×22=-32. 因此,点A'-32,-32,则|A'B|=13.连接A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=13.因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥322+13.故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为322+13.答案B15.(多选题)若点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值可以是(  )A.6B.8.5C.10D.12解析∵点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,∴-6≤x≤3.∵线段4x+3y=0(-6≤x≤3)过原点,∴点P到坐标原点的最近距离为0.又点(-6,8)在线段上,∴点P到坐标原点的最远距离为(-6)2+82=10.∴点P到坐标原点距离的取值范围是[0,10].对照选择项知ABC均可.答案ABC16.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线是点M的“相关直线”的是(  )A.y=x+1B.y=2C.4x-3y=0D.2x-y+1=0解析点M到直线y=x+1的距离d=|5-0+1|12+(-1)2=32>4,即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故A中的直线不是点M的“相关直线”;点M到直线y=2的距离 d=|0-2|=24,故D中的直线不是点M的“相关直线”.故选BC.答案BC17.已知直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为 . 解析显然l⊥x轴时符合要求,此时l的方程为x=1;当l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.∵点A,B到l的距离相等,∴|-2k+1-k|k2+1=|4k-5-k|k2+1,∴|1-3k|=|3k-5|,解得k=1,∴l的方程为x-y-1=0.综上,l的方程为x=1或x-y-1=0.答案x=1或x-y-1=018.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于7510,且直线l1不经过第四象限,则a=     . 解析由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为|-2a-1|42+(-2)2=7510,整理得|2a+1|25=7510,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3.答案319.(2020黑龙江佳木斯一中高二月考)已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.(1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程;(2)求△OAB面积的最小值. 解(1)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0,则点O到直线l的距离d=|-4k+3|k2+1=4,解得k=-724.故直线l的方程为-724x-y-4×-724+3=0,即7x+24y-100=0.(2)因为直线l的方程为kx-y-4k+3=0,所以A-3k+4,0,B(0,-4k+3).则△OAB的面积S=12|OA|·|OB|=12×-3k+4×(-4k+3)=12-9k-16k+24.由题意可知k