3 第五章：平行线判定、性质的综合应用，两条平行线的距离，命题，平移

【本讲教育信息】一. 教学内容：    第五章：平行线判定、性质的综合应用，两条平行线的距离，命题，平移 二、教学要求（一）综合运用平行线的判定、性质说理和计算；（二）理解两条平行线间的距离的含义；（三）弄清命题、公理、定理等概念的含义；重点掌握命题的概念和命题的构成；（四）理解平移的定义，掌握平移的特征并会应用。 三、重点及难点（一）重点1、理解两条平行线间的距离的含义；2、理解命题、题设、结论的含义，能够判断一个语句是否是命题，能正确确定一个命题的题设和结论；3、理解平移的定义，掌握平移的特征，熟练地利用平移作图，能利用平移转化图形解决几何问题。（二）难点1、综合运用平行线的判定、性质说理和计算；2、运用平移的基础知识分析复杂图形的形成过程，用平移知识解决生活中的问题。 【知识要点】（一）两条平行线间的距离1、定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。如图1所示，a//b，A是直线上任意一点，，垂足为B，则线段AB的长即是两平行线、间的距离。若在直线上任找一点，过作，垂足为D，则线段CD的长也是两平行线、间的距离。由此可见：         图12、平行线间的距离处处相等。                      （二）命题1、命题：判断一件事情的语句叫做命题。命题有正确和错误之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 2、命题的构成：命题是由题设（或条件）和结论两部分组成。题设是命题的已知条件部分，通常“如果”后面接题设部分；结论是由题设推出的事项，通常“那么”后面接结论部分。3、公理：正确性是人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判定其他命题真假的根据的命题叫做公理。4、定理：正确性是用推理证实的，这种用推理的方法得到的真命题叫做定理。 （三）平移1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。2、平移的两个要素：平移的方向和距离。图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。——整体角度3、平移的性质：（1）图形平移前后线段、角、点的关系：——局部角度对应线段平行(或在同一条直线上)且相等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。（2）平移前后图形的形状和大小的关系：——平移结果图形的形状和大小都没有发生变化，即平移不改变图形的形状和大小。          研究平移的性质时，从图形的整体特征的变与不变到分解成线段、角，最后再到点。平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小。4、平移的方向、距离的确定：方向为前后对应点射线方向，距离为对应点之间的线段的长度。5、简单图形的平移作图：线段、角、三角形的平移是最简单的平移问题，关键条件是平移的方向和距离。在作图过程中，通过确定图形上几个关键点平移后的位置，得到图形平移后的图形，运用“以局部带整体”的平移作图法：（1）确定图形中的关键点；（2）将关键点沿指定的方向移动指定的距离；6、图形平移的作用：利用基本图形，通过平移，组成更大的图案。平移变换常常将一个角、一条线段、一个图形平移到适当位置，使分散的条件集中到一个图形上，以方便问题的解决。 【典型例题】  例1.  把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，指出其题设和结论，并判断命题的真假。（1）等角的余角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）两点确定一条直线；（4）平行于同一条直线的两直线平行。分析：弄清各命题的题设和结论，再把命题改写成“如果……那么……”的形式，最后利用有关性质判定命题的真假。解答：（1）如果两个角相等，那么它们的余角也相等。题设：两个角相等，结论：它们的余角相等。该命题是真命题。（2）如果两个角相等，那么它们是对顶角。 题设：两个角相等，结论：它们是对顶角。该命题是假命题。（3）如果过两点画直线，那么只能画出唯一一条直线。题设：过两点画直线，结论：只能画出唯一一条直线。该命题是真命题。（4）如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线也平行。题设：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线也平行。该命题是真命题。说明：命题改写后，要确保句子的叙述清晰、语句通顺，并且不能改变命题的原意。   例2.  如图所示，已知AD//BC，AB//EF，DC//EG，且点和点分别在直线上，平分，。（1）求证：线段的长是两直线的距离；（2）第（1）问是否是命题？若是，是真命题还是假命题？并说明理由；若不是，也请说明理由。分析：第（1）问，要证线段的长是两直线的距离，只需证明且，即证明即可；第（2）问，因为第（1）题既有题设，也有结论，所以第（1）问是命题，若第（1）问的结论是正确的，则是真命题，反之，则是假命题。解答：（1）∵AB//EF，∴.∵，∴. 同理可证.∵三点共线，∴.∴.∵平分，∴.∴.∵AD//BC，∴ 即于，且于.∴线段的长是两直线的距离.（2）第（1）题是命题，是真命题。因为题目中的已知条件是题设，“线段的长是两直线的距离”是结论，所以是命题。而且通过证明，由题设可推出结论，所以是真命题。   例3.  （2006. 海淀）在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，那么下面平移中正确的是（    ）      A. 先向下移动1格，再向左移动1格；B. 先向下移动1格，再向左移动2格      C. 先向下移动2格，再向左移动1格；D. 先向下移动2格，再向左移动2格分析：向何处移和移多少是确定图形移动的两个关键因素。本题只要找准平移的方向和距离即可。解答：选C。 例4. 经过平移，△ABC的边AB移到了EF，作出平移后的三角形。分析：根据平移的特征，我们可以从不同的角度来分析，从而找到作法。1. 根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行，那么应有EG∥AC，FG∥BC；2. 根据平移后的图形与原来的图形的对应角相等，那么应有∠EFG＝∠ABC，∠FEG＝∠BAC；3. 根据平移后对应点所连的线段平行且相等，那么连结AE，应有CG∥AE，CG＝AE；解答：解法1：过点E、F分别作EH∥AC，FP∥BC，两射线交于点G，则△EFG即为所求；解法2：过点E作射线EH，使∠FEH＝∠BAC，过点F作射线FP，使∠EFP＝∠ABC，EH与FP交于G，则△EFG即为所求； 解法3：连结AE，过C按射线AE的方向作射线CG∥AE，取CG＝AE，连结EG、FG，则△EFG即为所求。说明：确定关键点的对应点是平移作图的要点之一，关键点平移后的位置确定了，就可以得到平移后的整体图形；确定平移的方向和距离是平移作图的要点之二。 例5. 如图1，在一个边长不超过的大正方形中，放入三张面积均为25的正方形纸片，这个大正方形被三张纸片盖住部分的面积是45，问大正方形的面积是多少？           图1                          图2 分析：本题中三个正方形位置的摆放没有特殊性，如果思维停留在这种摆放模式，则很难找到突破口，但运用平移的特征，平移只改变图形的位置，并不改变图形的形状和大小，把三个正方形如图2所示放置，就会有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的变化。解答：把红色正方形纸片平移到最左端，如图所示，设空白小正方形的边长为，根据题意得：，解得，从而大正方形的边长为5+2=7，故大正方形的面积是。说明：平移只改变图形的位置，并不改变图形的形状和大小，是集中或转移条件的重要方法。 例6. 如图，AB与CD交于O，且∠AOC=60°，AB=CD=1。求证：AC+BD≥1。       分析：在平面几何的解题中，往往由于条件的隐蔽和分散，很难找到解题的途径，而恰当地运用轴对称、平移、旋转等几何变换，将那些分散、远离的条件从图形的某一部分转移到适当的新位置上，条件得以相对集中，以便于各条件的综合与应用，从而达到变繁为简，化难为易，巧妙解题的目的。本题应将AC、BD和AB移到同一个三角形中，可采用平移变换。 解答：将AB沿着AC方向平移线段AB的长度到CB＇，连结DB＇、BB＇。∴AC＝BB＇，CB＇//AB，CB＇＝AB.∵AB＝CD＝1，∴CB＇＝CD.∵∠AOC＝60°，∴∠1＝∠AOC＝60°，∴△CDB＇是等边三角形，即DB＇＝1.当D、B、B＇三点不共线时，在△DBB＇中，BB＇＋BD>DB＇，即AC＋BD>1.当D、B、B＇三点共线时，AC＋BD＝1.综上所述，AC＋BD≥1. 【小结】1、能综合运用平行线的性质和判定证明和计算；2、理解两条平行线间的距离的含义；3、掌握命题的概念和命题的构成；4、理解平移的定义，掌握平移的特征，能根据条件画出平移后的图形，应用平移知识解决几何问题和实际问题。 【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题1. 关于下列说法正确的个数有（     ）①△ABC在平移过程中，对应线段一定平行；②△ABC在平移过程中，对应线段一定相等；③△ABC在平移过程中，对应角一定相等；④△ABC在平移过程中，图形大小不改变。A. 1个                B. 2个            C. 3个；            D. 4个2. （2003. 吉林）如图，菱形花坛 ABCD的边长为 6m，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（   ）。     A. 18m              B. 20m               C. 22m             D. 24m 3. （2006. 淄博）在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形变换为平移，如图，将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首位依次相接的三角形，至少需要移动（     ） A.12格           B.11格          C.9格             D.8格 二. 填空题4. 如图，已知长方形的长是2cm，宽是1cm，弧DF和弧BE的弧长相等，求阴影部分的面积是               。5. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，边长分别为5和3，那么阴影部分的面积为     。6. 如图所示，求出此图形的周长是               。 7. 写出下列命题的题设和结论：（1）两条直线平行，同旁内角互补；题设：                                ；结论：                                  ；（2）同角的补角相等；题设：                                ；结论：                                  ；（3）三角形三内角的和等于。题设：                               ；结论：                                  ； 三. 作图题 8. 如图，先将△ABC沿北偏西60°方向平移2.5cm，得△A1B1C1，再将△ABC沿南偏西60°方向平移2.5cm，得△A2B2C2，观察△A1B1C1、△A2B2C2，你能发现这两个三角形有什么关系吗？ 四. 解答题9. 如图所示，是小李家电视机的背景墙面上的装饰板，它是一块底色为蓝色的正方形板，边长18cm， 上面横竖各两道红条进行装饰，红条宽都是2cm，问蓝色部分板面面积是多少？10. （本题中四个矩形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为）：在图1中，将线段向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）；在图2中，将折线向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）.      图1                        图2                        图3（1）在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=             ，S2=            ，S3=                ；（3）联想与探索：如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的. 图411. 四边形ABCD中，DC//AB，∠D＝2∠B，CD＝3，AD＝2，求AB的长度.  【试题答案】1.C  2.B   3.C   4. 5.6（把小正方形向下平移，阴影部分就变成了长为3，宽为（5－3）的长方形）6.14      7. （1）题设：两条直线平行，结论：同旁内角互补。（2）题设：两个角是同一个角的补角，结论：这两个角相等。（3）题设：一个图形是三角形，结论：它的内角和为。8.对应边互相平行。 图略。9. 蓝色部分板面面积是10. （1）（2）；（3）  证明：可以把小路想象成有无限多个折点的折线图，所以，面积和前面的结论是相同的。11. 解：∵DC//AB，∴把CB沿着CD方向平移线段CD的长度，得到DE，E在AB上. 由平移特征知DC＝EB＝3，DE//CB，∴∠B＝∠2.∵DC//EB，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠B.又∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠1+∠3，∴2∠B＝∠3+∠B，即∠B＝∠3.∴∠2＝∠3，∴AD＝AE＝2.∴AB＝AE+EB＝2+3＝5，即AB的长度是5.