玲珑画板课题研究-异面直线间的距离-大道至简

异面直线间的距离-大道至简网上看了些课件及解题方法，个人感觉有些负担。方法多了，反而让学生找不到方法，大道至简，简单才好。针对网上这篇文章《异面直线间的距离（高中全部8种方法详细例题）》，提出我的看法，供参考交流。可以先看看后面附录的这篇文章。网上这篇文章归纳了八种方法，细节也很到位，但转身思考：这样的课听起来很容易听懂，但要融会贯通，却会让人找不着北。我们如何记住这八种方法，在什么时候用？怎么用？公式怎么记得住？坐标系如何建立？如此等等，做为一名数学老师，我都觉得很累。我们解题的目的是什么？我们分析问题能力得到了提高么？我们的空间想象能力真正培养起来了么？看了网上这篇文章的这么多解题方法，颇感困惑。大道至简，解异面直线间的距离问题，我的思路只有一条，就是找平行：过一条线a做另一条线b的平行面，转化为线面平行，常常运用等体积法求得线上一点到面的距离。如果不行，找面面平行。下面就各题对比提出我的思路。例1已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。 思路：过AE找出一平面平行CD。易知CD‖平面AEF，过D作DH垂直AE于H，易知DH就是线CD到面AEF的距离。例2如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、AE间的距离。思路：过B做AE的平行线，转化为线面平行，AE‖平面BEH通过条件，做AC⊥AB交BE于C，再在BH上任取一点D，构造出BCD平面。通过等体积法求得A点到平面BCD的距离。例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS与BC的距离。 思路：用割补法将模型放入长方体中，转化为求两平行平面的距离。例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求A1B与D1B1的距离。思路：连接DB，D1B1‖平面A1DB，可通过等体积法求得D1到面A1DB的距离h。SA1D1D*AB=SA1DB*h也可再执行第二步，通过等体积法可以求得A点到面A1BD、C1点到面B1D1C的距离。所以两平面间的距离就是对角线AC1长度减去先前求得的两个长度。 例5已知圆柱的底面半径为3，高为4，A、B两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB与轴OO/之间的距离。思路：过B点做轴OO/的平行线，易知OO/‖平面BMA，转化为线面的距离。例6在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，M、N分别是棱AB、CC1的中点，E是BD的中点。求异面直线D1M、EN间的距离。思路：要转化为线面平行，确实不易，是否可以找出分别过这两条线的平行平面。因为是中点，可以连接BC的中点Q，易做出两个平行平面。 例7已知：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。思路：例8：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．思路：易做出平面AMC‖SB转化为线面距离。再进一步做OH⊥SB，OH即是线面距离。由等体积法可求OH。SAHC*(SH+HB)=SABC*SO异面直线间的距离 求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。常用方法有：1、定义法2、垂直平面法（转化为线面距）3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。例1已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。思路分析：由四边形ABCD和CDEF是正方形，得CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥平面ADE，过D作DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是异面直线AE、CD的公垂线。在⊿ADE中，∠ADE=1200，AD=DE=a，DH=。即异面直线CD与AE间的距离为。2垂直平面法：转化为线面距离，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a/，记a/与b确定的平面α。从而，异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。例1如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、AE间的距离。思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，在平面Q内，过B作BH‖AE，将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离，即为A到平面BCD间的距离，又因二面角P-AB-Q是直二面角，过A作AC⊥AB交BF于C，即AC⊥平面ABD，过A作AD⊥BD交于D，连结CD。设A到平面BCD的距离为h。由体积法VA-BCD=VC-ABD，得h=3转化为面面距离若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、b∈β。求a、b两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS与BC的距离。 思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体，设长方形的长、宽、高分别为x、y、z，则解得x=3，y=2，z=1。由于平面SA‖平面BC，平面SA、平面BC间的距离是2，所以异面直线AS与BC的距离是2。4代数求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求A1B与D1B1的距离。思路分析：在A1B上任取一点M，作MP⊥A1B1，PN⊥B1D1，则MN⊥B1D1，只要求出MN的最小值即可。设A1M=x，则MP=x，A1P=x。所以PB1=a–x，PN=（a–x）sin450=（a–x），MN==。当x=时，MNmin=。5公式法异面直线间距离公式：d=求得异面直线间的距离。例5已知圆柱的底面半径为3，高为4，A、B两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB与轴OO/之间的距离。思路分析：在圆柱底面上AO⊥OO/，BO/⊥OO/，又OO/ 是圆柱的高，AB=5，所以d=。即异面直线AB与轴OO/之间的距离为。6射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。例6在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，M、N分别是棱AB、CC1的中点，E是BD的中点。求异面直线D1M、EN间的距离。思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面距离时，可采用射影到同一平面内，把异面直线D1M、EN射影到同一平面BC1内，转化为BC1、QN的距离，显然，易知BC1、QN的距离为。所以异面直线D1M、EN间的距离为。7.向量法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在ABCDD1C1A1B1公共法向量上的射影长。例7已知：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。思路分析：此题是求异面直线的距离问题，这个距离可看作是在异面直线的法向量方向上的投影的绝对值。此题教师引导，学生口述，教师在课件上演示解题过程，总结解题步骤。解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz∴D(0,0,0)A1(1,0,1)A(1,0,0)C(0,1,0)∴设异面直线DA1与AC的法向量∴∴∴∴异面直线DA1与AC的距离为SADBC步骤小结：求异面直线间的距离:⑴建立空间直角坐标系；⑵写出点的坐标，求出向量坐标；⑶求出异面直线的法向量的坐标；⑷代入异面直线间的距离公式。例已知：SA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90゜,SA=AB=BC=a,AD=2a，求A到平面SCD的距离。 解：如图所示建立空间直角坐标系A—xyz∴A（0,0,0）C(a,a,0)D(0,2a,0)S(0,0,a)∴=(0,2a,0)=(a,a,-a)=(0,2a,-a)设面SCD的一个法向量=(x,y,1)∴⊥且⊥∴•=0且•=0∴∴=(1)∴点A到面SCD的距离为∴点A到面SCD的距离为八等积法把异面直线间的距离转化为求某个特殊几何体的的高，利用体积相等求出该高的长度。例8：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．设BC与平面SAD间的距离为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为