两条直线平行的条件平行线的特征

两条直线平行的条件　平行线的特征主讲：方敏文一周强化一、一周知识概述1、两条直线平行的条件(1)同位角相等，两直线平行；(2)内错角相等，两直线平行；(3)同旁内角互补，两直线平行．上述方法可表述为：如图．(1)如果∠1=∠2，那么AB∥CD；(2)如果∠3=∠2，那么AB∥CD；(3)如果∠2＋∠4=180°，那么AB∥CD．　　关键是－定要看清哪两条直线被哪－条直线所截形成的同位角或同旁内角或内错角相等或互补，才能正确判断是哪两条直线平行．2、平行线的特征(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简单地说成“两直线平行，同位角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)， 　　所以∠l=∠2(两直线平行，同位角相等)．　　(2)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简单地说成“两直线平行，内错角相等”．　　可表述为：如图，因为a∥b(已知)，　　所以∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)．　　(3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单地说成“两直线平行，同旁内角互补”．　　可表述为：如图，因为a∥b(已知)，　　所以∠2＋∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)．　　注意：①只要两条直线被第三条直线所截，都存在这三类角，但同位角、内错角不－定相等，同旁内角也不－定互补；　　②同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线的特有性质，在使用时，切不可忽略前提条件“两直线平行”．当两直线不平行时，同位角与内错角就不相等，同旁内角也不互补．3、直线平行的条件与平行线的特征区分直线平行的条件平行线的特征同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补由数量关系确定图形的位置关系由图形的位置关系决定数量关系 　　几何中，图形之间的“位置关系”－般都与某种“数量关系”有着内在联系，常有“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可以由“数量关系”去确定“位置关系”．正确区分平行线的判定方法和平行线的特征是十分重要的．从表中可以看出，由角的相等或互补关系，得到两直线平行的结论是判定方法；而由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结论是平行线的特征．二、典型例题剖析例1、如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（　）A．∠1=∠3　　　　　　　　　B．∠2=∠3C．∠4=∠5　　　　　　　　　D．∠2＋∠4=180°分析：　　主要考查平行线的判定条件，在辨认三种角时，抓住截线是关键，即“先辨截线，再判位置”．当∠1=∠3时，由内错角相等，两直线平行可得l1∥l2；当∠4=∠5时，由同位角相等，两直线平行可得l1∥l2；当∠2＋∠4=180°时，由同旁内角互补可得l1∥l2．答案：B例2、如图，已知AC平分∠DAB，∠BAC＝∠ACB，那么AD与BC平行吗?请写出推理过程．分析： 　　要判定AD与BC平行，应先观察AD与BC被哪条直线所截，然后设法由已知条件推出同位角或内错角相等，或同旁内角互补．本例把AB看作截线，不能得出结论，而把AC看作截线即可推出∠ACB＝∠CAD，从而得出AD∥BC．（关键是要找准截线）解：　　∵AC平分∠DAB（已知），　　∴∠BAC＝∠CAD（角平分线定义），　　∵∠BAC＝∠ACB（已知），　　∴∠CAD＝∠ACB（等量代换），　　∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．例3、如图，如果两个角满足某种关系，就可以判断AE∥BF．请你将这样的相关的角写出几组，并说明理由．分析：　　本题属于条件开放性问题，由于图形比较复杂，很容易找不全所有符合条件的答案．解题时要紧紧抓住判定两条直线平行的三种判定方法，以顶点为出发点来寻找符合条件的两个角．由以B为顶点的∠B，可以得到以下条件：∠B=∠7，∠B=∠6，∠B＋∠BAE=180°；然后再找以C为顶点的角有∠1，∠3，∠BCE和∠ACF(∠2不能和其他角构成符合条件的－组角)，可以得到以下条件：∠1=∠5，∠l＋∠CAG=180°，∠3=∠E，∠BCE＋∠E=180°，∠ACF=∠CAG，∠ACF＋∠5=180°，由此可以得到符合条件的全部答案．解：　　满足条件的两个角有： 　　(1)∠B=∠7(内错角相等，两直线平行)；　　(2)∠B=∠6(同位角相等，两直线平行)；　　(3)∠B＋∠BAE=180°(同旁内角互补，两直线平行)；　　(4)∠1=∠5(内错角相等，两直线平行)；　　(5)∠1＋∠CAG=180°(同旁内角互补，两直线平行)；　　(6)∠3=∠E(内错角相等，两直线平行)；　　(7)∠BCE＋∠E=180°(同旁内角互补，两直线平行)；　　(8)∠ACF=∠CAG(内错角相等，两直线平行)；　　(9)∠ACF十∠5=180°(同旁内角互补，两直线平行)．小结：　　以顶点为出发点，有规律、有顺序地寻找符合条件的两角，关键是要从简单情形入手，逐步过渡到复杂情形．例4、如图(1)，线段AB//CD，点P是AB、CD间的－个点．　　(1)试判断∠A、∠C与∠APC的数量关系；　　(2)如果点P移动到线段AC的左侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(如图(2))　　(3)如果点P移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．(如图(3)) 分析：　　图中虽然有平行线，但是缺少和两条平行线都相交的第三条直线，因此也就没有同位角、内错角的相等关系以及同旁内角的互补关系，如何构造出这三类角，充分利用平行线的性质是解决问题的关键，因此，需要构造满足平行线的性质的基本图形．解：(1)∠A＋∠C=∠APC．理由：如图(1)，过P作直线PM∥AB．由AB//PM，得∠A=∠APM．由AB//CD，PM//AB，得CD//PM．于是∠C=∠CPM．而∠APC=∠CPM＋∠APM，故∠APC=∠A＋∠C；(2)不成立，∠BAP＋∠PCD＋∠APC=360°．理由：如图(2)，过P作PM//AB，而AB∥CD，所以AB∥PM∥CD．所以∠1＋∠BAP=180°，∠2＋∠PCD=180°．所以∠1＋∠BAP＋∠2＋∠PCD=180°×2=360°，即∠APC＋∠BAP＋∠PCD=360°；(3)不成立．∠APC=∠C－∠A．理由：如图(3)，过P作PM∥AB，从而知PM∥AB∥CD，于是有∠MPA=∠A，∠MPC=∠C，而∠MPC=∠MPA＋∠APC，故∠C=∠A＋∠APC．即∠APC=∠C－∠A．小结：两条平行线中出现折线时，过折线的折点作平行线是解决问题的关键．